上 传  者 : 万金圣
单      位 : 曲塘中学
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第1讲 集合.doc(0.95MB)
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0 0 类别 : 教案
高三新数学第一轮复习教案 (讲座 1)— 集 合 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题, 感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合 的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意 利用几何的直观性,注意运用 Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强 集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值 5分。 预测 2007年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透 在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是 1个选择题或 1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若 a是集合 A的元素,记作 Aa∈ ;若 b不是集合 A的 元素,记作 Ab∉ ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是 A的元素, 或者不是 A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象), 因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无 关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 第 1 页 共 12 页 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围, 再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意, 一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集),记作N; 正整数集,记作N*或N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作Q; 实数集,记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素,则称 A是 B的子集(或 B包含 A),记作 A ⊆ B(或 BA ⊂ ); 集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若 A ⊆ B且 B ⊇ A,则称 A等于 B,记 作 A=B;若 A ⊆ B且 A≠B,则称 A是 B的真子集,记作 A B; (2)简单性质:1)A ⊆ A;2) Φ ⊆ A;3)若 A ⊆ B,B ⊆ C,则 A ⊆ C;4) 若集合 A是 n个元素的集合,则集合 A有 2n个子集(其中 2n-1个真子集); 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U; (2)若 S是一个集合,A ⊆ S,则, SC = }|{ AxSxx ∉∈且 称 S中子集 A的补集; (3)简单性质:1) SC ( SC )=A;2) SC S= Φ , ΦSC =S。 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A且属于集合 B的元素所组成的集合,叫做集合 A与 B 的交集。交集 }|{ BxAxxBA ∈∈=∩ 且 。 (2)一般地,由所有属于集合 A或属于集合 B的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B的并集。 }|{ BxAxxBA ∈∈=∪ 或并集 。 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并 集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发 去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想 方法。 5.集合的简单性质: (1) ;,, ABBAAAAA ∩=∩Φ=Φ∩=∩ (2) ;, ABBAAA ∪=∪=Φ∪ (3) );()( BABA ∪⊆∩ (4) BBABAABABA =∪⇔⊆=∩⇔⊆ ; ; 第 2 页 共 12 页 (5) SC (A∩B)=( SC A)∪( SC B), SC (A∪B)=( SC A)∩( SC B)。 四.典例解析 题型 1:集合的概念 例 1.设集合 },4 1 2 1|{ ZkkxxA ∈+== ,若 2 9 =x ,则下列关系正确的是( ) A. Ax ⊂ B. Ax∈ C. Ax ∈}{ D. Ax ⊂}{ 解:由于 4 12 4 1 2 1 + =+ kk 中 12 +k 只能取到所有的奇数,而 4 18 2 9 = 中 18为偶 数。则 AA ⊂∉ }2 9{,2 9 。选项为D; 点评:该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合 之间是属于与不属于的关系,而集合之间是包含与不包含的关系。 例 2.设集合 P={m|-1<m≤0 } ,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数 x恒成立 } ,则下列关系中成立的是( ) A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=Q 解:Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数 x恒成立=,对m分类: ①m=0时,-4<0恒成立; ②m<0时,需 Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0。 综合①②知m≤0, ∴Q={m∈R|m≤0}。 答案为 A。 点评:该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想。集合 Q 中含有参数 m,需要对参数进行分类讨论,不能忽略m=0的情况。 题型 2:集合的性质 例 3.(2000广东,1)已知集合 A={1,2,3,4},那么 A的真子集的个数是( ) A.15 B.16 C.3 D.4 解:根据子集的计算应有 24-1=15(个)。选项为 A; 点评:该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集 ∅ 是任何非 空集合的真子集。同时,A不是 A的真子集。 变式题:同时满足条件:① };5,4,3,2,1{⊆M ②若 MaMa ∈∈ -则6, ,这样的集合 M有多少个,举出这些集合来。 答案:这样的集合M有 8个。 例 4.已知全集 3 2{1,3, 2 }S x x x= − − ,A={1, 2 1x − }如果 }0{=ACS ,则这样的 实数 x 是否存在?若存在,求出 x ,若不存在,说明理由。 第 3 页 共 12 页 解:∵ }0{=ACS ; ∴ AS ∉∈ 00 且 ,即 3 2 2x x x− − =0,解得 1 2 30, 1, 2x x x= =− = 当 0=x 时, 112 =−x ,为 A中元素; 当 1−=x 时, Sx ∈=− 312 当 2x = 时, 2 1 3x S− = ∈ ∴这样的实数 x存在,是 1x =− 或 2x = 。 另法:∵ }0{=ACS ∴ AS ∉∈ 00 且 , 3 A∈ ∴ 3 2 2x x x− − =0且 2 1 3x − = ∴ 1x =− 或 2x = 。 点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当 0=x 时, 112 =−x ”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号 }0{=ACS 是两层 含义: AS ∉∈ 00 且 。 变 式 题 : 已 知 集 合 2{ , , 2 }, { , , }A m m d m d B m mq mq= + + = , 0m ≠其中 , A B=且 ,求 q 的值。 解:由 BA = 可知, (1)   =+ =+ 22 mqdm mqdm ,或(2)   =+ =+ mqdm mqdm 2 2 解(1)得 1=q , 解(2)得 2 1,1 −== qq 或 , 又因为当 1=q 时, 2mqmqm == 与题意不符, 所以, 2 1 −=q 。 题型 3:集合的运算 例 5.(06全国Ⅱ理,2)已知集合M={x|x<3 } ,N={x|log2x>1},则M∩N =( ) A. ∅ B.{x|0<x<3 } C.{x|1<x<3 } D.{x|2<x<3 } 第 4 页 共 12 页 解:由对数函数的性质,且 2>1,显然由 1log 2 >x 易得 ),2( +∞=B 。从而 )3,2(=∩BA 。故选项为D。 点评:该题考察了不等式和集合交运算。 例 6.(06安徽理,1)设集合 { }2 2,A x x x R= − ≤ ∈ , { }2| , 1 2B y y x x= =− − ≤ ≤ ,则 ( )RC A BI 等于( ) A. R B. { }, 0x x R x∈ ≠ C. { }0 D. ∅ 解: [0, 2]A = , [ 4, 0]B = − ,所以 ( ) {0}R RC A B C=I ,故选 B。 点评:该题考察了集合的交、补运算。 题型 4:图解法解集合问题 例 7.(2003上海春,5)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且 A B, 则实数 a的取值范围是____ _。 解:∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又 A ⊆ B,利用 数轴上覆盖关系:如图所示,因此有 a≤-2。 点评:本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问 题。 例 8.(1996全国理,1)已知全集 I=N*,集合 A={x|x=2n,n∈N*},B={x |x=4n,n∈N},则( ) A.I=A∪B B.I=( IC A)∪B C.I=A∪( IC B ) D.I=( IC A)∪( IC B) 解:方法一: IC A中元素是非 2的倍数的自然数, IC B中元素是非 4的倍数的自 然数,显然,只有C选项正确. 方 法 二 : 因 A = { 2 , 4 , 6 , 8… } , B = { 4 , 8 , 12 , 16 , … } , 所 以 IC B = {1,2,3,5,6,7,9…},所以 I=A∪ IC B,故答案 为C. 方法三:因 B A,所以( IC )A ( IC )B,( IC )A∩( IC B)= IC A,故 I=A∪( IC A)=A∪( IC B)。 方法四:根据题意,我们画出 Venn图来解,易知 B A,如图:可以清楚看到 第 5 页 共 12 页 图 图 I=A∪( IC B)是成立的。 点评:本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无 限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求。 题型 5:集合的应用 例 9.向 50名学生调查对 A、B两事件的态度,有如下结果 新 新新 新 新新 新 新 新新 新 新 新 新htp :/w w .x jkty g.c om/w xc/wx ck t@1 26. comw xck t@1 26 .co mhtp :/w w w.x jkt yg.c om/w xc/新 新 新 新 新新 新 新 新新 新 新新 赞成 A的人数是全体 的五分之三,其余的不赞成,赞成 B的比赞成 A的多 3人,其余的不赞成;另外,对 A、B都不赞成的学生数比对 A、B都赞成的学生数的三分之一多 1人。问对 A、B都赞成的 学生和都不赞成的学生各有多少人? 解:赞成 A的人数为 50× 5 3 =30,赞成 B的人数 为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组成的集合为 U,赞成事件 A的学生全体为集合 A;赞成事件 B的 学生全体为集合 B。 设对事件 A、B都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为 3 x +1,赞成 A而不赞成 B的人数为 30-x,赞成 B而不赞成 A的 人数为 33-x。依题意(30-x)+(33-x)+x+( 3 x +1)=50,解得 x=21。所以对 A、B都赞成的同 学有 21人,都不赞成的有 8人 新 新新 新 新 新 新新 新 新 新新 新 新ht p:/w w .xjk tyg . com /wx c/wx ckt@ 12 6 .co mwx ckt@ 12 6 .co mht p:/w w .xjk tyg . com /wx c/新 新 新新 新 新 新新 新 新 新 新新 新 。 点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考 生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件, 想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不 清头绪,不好找线索。画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系。 例 10.求 1到 200这 200个数中既不是 2的倍数,又不是 3的倍数,也不是 5的倍 数的自然数共有多少个? 解:如图先画出Venn图,不难看出不符合条件 的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5) -(200÷10)-(200÷6)-(200÷15) +(200÷30)=146 所以,符合条件的数共有 200-146=54(个) 点评:分析 200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而 不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。 题型 7:集合综合题 例 11.(1999上海,17)设集合 A={x||x-a|<2},B={x| 2 12 + − x x <1},若 A ⊆ B,求 实数 a的取值范围。 解:由|x-a|<2,得 a-2<x<a+2,所以 A={x|a-2<x<a+2}。 第 6 页 共 12 页 X 3+1 33-X X 30-X U BA 3的倍数 2的倍数 5的倍数 由 2 12 + − x x <1,得 2 3 + − x x <0,即-2<x<3,所以 B={x|-2<x<3}。 因为 A ⊆ B,所以   ≤+ −≥− 32 22 a a ,于是 0≤a≤1。 点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集 合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要 注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。 例 12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为 0,a1和 d均为实数,它的前 n项和记 作 Sn,设集合 A={(an, n Sn )|n∈N*},B={(x,y)| 4 1 x2-y2=1,x,y∈R}。 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合 A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B至多有一个元素; (3)当 a1≠0时,一定有 A∩B≠ ∅ 。 解:(1)正确;在等差数列{an}中,Sn= 2 )( 1 naan + ,则 2 1 =n Sn (a1+an),这表明点(an, n Sn )的坐标适合方程 y 2 1 = (x+a1),于是点(an, n Sn )均在直线 y= 2 1 x+ 2 1 a1上。 (2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y应是方程组    =− += 14 1 2 1 2 1 22 1 yx axy 的解,由 方程组消去 y得:2a1x+a12=-4(*), 当 a1=0时,方程(*)无解,此时 A∩B= ∅ ; 当 a1≠0 时,方程 (*)只有一个解 x= 1 2 1 2 4 a a−− ,此时,方程组也只有一解    − = −− = 1 2 1 1 2 1 4 4 2 4 a ay a ay ,故上述方程组至多有一解。 ∴A∩B至多有一个元素。 (3)不正确;取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n-1)d=n>0, n Sn >0,这 第 7 页 共 12 页 时集合 A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于 a1=1≠0 新 新新 新 新 新 新 新新 新 新 新新 新 新htp :/w w.x jkty g.co m/w xc/w xck t@1 26.c omw xck t@1 26.c omhtp :/w w.x jkty g.co m/w xc/新 新 新新 新 新 新新 新 新 新 新 新新 新 如果 A∩B≠ ∅ ,那么据(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而 x0= 5 2 2 4 1 2 1 −= −− a a < 0,y0= 4 3 2 01 = + xa <0,这样的(x0,y0) ∉ A,产生矛盾,故 a1=1,d=1时 A∩B= ∅ ,所以 a1≠0时,一定有 A∩B≠ ∅ 是不正确的。 点评:该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题。 变式题:解答下述问题: (Ⅰ)设集合 },0|{},0422|{ 2 <==++−= xxBmxxxA , φ≠∩BA若 ,求实数 m 的取值范围. 分析:关键是准确理解 ≠∩ BA 的具体意义,首先要从数学意义上解释 ≠∩ BA 的意义,然后才能提出解决问题的具体方法。 解:    ≥+= −≤≤−⇒>=+ ≥−−=∆ =++−= =++−⇔ 042 ,2 3202 0)32(4 },0422|{ ,0422 21 21 2 2 mxx mxx m mxxxmM mxx 则 两根均为非负实数的方程关于设 至少有一个负实数根方程命题 }2 3|{}0|{}2 32|{ −≤=≥∆=−≤≤−=∴ mmmUmmM 设全集 m∴ 的取值范围是 UM={m|m<-2}. .2132132 0321)( −<⇒>−−⇒>−−⇒ <−−−=⇔ mmm mx方程的小根命题解法二 (解法三)设 ,42)( 2 +−= xxxf 这是开口向上的抛物线, 01>=x其对称轴 ,则二次函 数性质知命题又等价于 ,20)0( −<⇒< mf 注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。 (Ⅱ)已知两个正整数集合 A={a1,a2,a3,a4}, 4321 2 4 2 3 2 2 2 1 },,,,{ aaaaaaaaB <<<= 其中 第 8 页 共 12 页 ABAaaaaBA 求集合的所有元素之和是且且若 ,124,10},,{ 4141 ∪=+=∩ 、B. 分析:命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质 解决,注意“正整数”这个条件的运用, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{, ;,,5,3,)2( ;512494 },81,,9,,3,1{,3,)1( ,,9,10 ,1},,{ ,,1 3234 2 3 3 2 33 2 3324 2 2 4 2 4441 1 2 1141 2 4 2 3 2 2 2 14321 == >=== =⇒=++∴ =∪∴== ≠∴=∴=+ =⇒=∴=∩ <<<∴<<<≤ BA aaaaa aaa aaBAaaa aaaaa aaaaaBA aaaaaaaa 综上 不合与条件矛盾同样可得则若 则若 而 只可能有  (Ⅲ) },05224|),{(},1|),{( 22 =+−+=+== yxxyxBxyyxA设集合 . ,)(,,},|),{( 试证明你的结论 使问是否存在自然数 =∩∪+== CBAbkbkxyyxC 分析:正确理解 .,)( 题并转化为具体的数学问=∩∪ CBA 要使 =∩=∩=∩∪∩=∩∪ CBCACBCACBA 且必须,)()()( , 由 ,01)12(1 222 2 =−+−+⇒   += += bxkbxkbkxy xy 当 k=0时,方程有解 12 −=bx ,不合题意; 当 k kbbkkbk 4 140)1(4)12(0 2 222 1 + ><−−−=∆≠ 得时由 ① 又由 ,025)1(2405224 2 2 =−+−+⇒   += =+−+ bxkxbkxy yxx 由 8 )1(200)25(16)1(4 2 2 2 −− <<−−−=∆ kbbk 得 ②, 由①、②得 ,8 20,14 1 <>+> bkkb 而 ∵b为自然数,∴b=2,代入①、②得 k=1 点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理 解问题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。 第 9 页 共 12 页 题型 6:课标创新题 例 13.七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不 能站在正中间的位置,则有多少不同的排法? 解:设集合 A={甲站在最左端的位置}, B={甲站在最右端的位置}, C={乙站在正中间的位置}, D={丙站在正中间的位置}, 则集合 A、B、C、D的关系如图所示, ∴不同的排法有 264044 556677 =+− AAA 种. 点评:这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易 错,若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应 用,在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。 例 14.A是由定义在 ]4,2[ 上且满足如下条件的函数 )(xϕ 组成的集合:①对任意 ]2,1[∈x ,都有 )2,1()2( ∈xϕ ; ②存在常数 )10( <<LL ,使得对任意的 ]2,1[, 21 ∈xx ,都有 |||)2()2(| 2121 xxLxx −≤−ϕϕ (1)设 ]4,2[,1)( 3 ∈+= xxxϕ ,证明: Ax ∈)(ϕ (2)设 Ax ∈)(ϕ ,如果存在 )2,1(0 ∈x ,使得 )2( 00 xx ϕ= ,那么这样的 0x 是唯一的; (3)设 Ax ∈)(ϕ ,任取 )2,1(∈lx ,令 ,,2,1),2(1 ⋅⋅⋅==+ nxx nn ϕ 证明:给定正整数 k, 对任意的正整数 p,成立不等式 ||1|| 12 1 xxL Lxx k klk − − ≤− + + 。 解: 对 任 意 ]2,1[∈x , ]2,1[,21)2( 3 ∈+= xxxϕ , ≤3 3 )2( xϕ 3 5≤ , 2531 33 <<< ,所以 )2,1()2( ∈xϕ 对任意的 ]2,1[, 21 ∈xx , ( ) ( )( ) ( ) 23 23 213 212121 112121 2|||)2()2(| xxxx xxxx ++++++ −=−ϕϕ , <3 ( ) ( )( ) ( )3 23 213 21 112121 xxxx ++++++ , 第 10 页 共 12 页 <3 所以 0< ( ) ( )( ) ( ) 23 23 213 21 112121 2 xxxx ++++++ 3 2 < , 令 ( ) ( )( ) ( ) 23 23 213 21 112121 2 xxxx ++++++ = L , 10 <<L , |||)2()2(| 2121 xxLxx −≤−ϕϕ 所以 Ax ∈)(ϕ 反证法:设存在两个 0000 ),2,1(, xxxx ′≠∈′ 使得 )2( 00 xx ϕ= , )2( 00 xx ′=′ ϕ 。 则由 |||)2()2(| /00/00 xxLxx −≤−ϕϕ , 得 |||| /00/00 xxLxx −≤− ,所以 1≥L ,矛盾,故结论成立。 121223 )2()2( xxLxxxx −≤−=− ϕϕ , 所以 1211 xxLxx nnn −≤− −+ ( ) ( ) ( ) ||1|| 12 1 1211 xxL Lxxxxxxxx k kkpkpkpkpkkpk − − ≤−+−+−=− − +−+−+−+++  kkpkpkpkpk xxxxxx −+−+−≤ +−+−+−++ 1211  ≤ 12 3 12 2 xxLxxL pkpk −+− −+−+ +… 121 xxLk −− 12 1 1 xxL LK − − ≤ − 。 点评:函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合 的关系当中,题目比较新颖。 五.思维总结 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数 学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题。 1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如 ∈ 、 ∉ 、 ⊆ 、 、=、 SC A、∪,∩等等; 2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利 用几何直观性研究问题,注意运用 Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转 换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问 题中的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一 第 11 页 共 12 页 个集合能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解); 3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解 决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与 、 与 ⊆ 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ② A ⊆ B时,A有两种情况:A=φ与 A≠φ。 ③若集合 A中有 n )( Nn∈ 个元素,则集合 A的所有不同的子集个数为 n2 ,所有 真子集的个数是 n2 -1, 所有非空真子集的个数是 22 −n 。 ④ 区分集合中元素的形式 : 如 }12|{ 2 ++== xxyxA ; }12|{ 2 ++== xxyyB ; }12|),{( 2 ++== xxyyxC ; }12|{ 2 ++== xxxxD ; },,12|),{( 2 ZyZxxxyyxE ∈∈++== ; }12|)',{( 2 ++== xxyyxF ; },12|{ 2 x yzxxyzG =++== 。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。 }0{ 、 φ 和 }{φ 的区别;0与三者间的关系。空集 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为 BA ⊆ ,在讨论的时候不要遗忘 了 φ=A 的情况。 ⑥符号“ ∉∈, ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线 (面)的关系 ;符号“ ,⊄Ø ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与 直线(面)的关系。 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具, 是为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力。 第 12 页 共 12 页
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