上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2016-03-30 12:35:35
高中数学总复习学习指导--不等式选讲.doc(110KB)
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0 0 类别 : 教案
第十章 不等式选讲 几何证明选讲 坐标系与参数方程 优选法应用 第五十讲 不等式选讲 高考考试要求 1. 理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ①|a+b|≤|a|+|b| ②|a-b|≤|a-c|+|c-b| ③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c 2.了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明 ①柯西不等式的向量形式:|a|·|b|≥|a·b| ②(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ③ 232232221221 )yy()xx()yy()xx(  ≥ 231231 )yy()xx(  (通常 称为平面三角不等式) 3.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:    n 1i 2 i n 1i 2 i ba ≥ 2 n 1i ii )ba(  4.会用向量递归方法讨论排序不等式 5.了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题 6.会用数学归纳法证明贝努利不等式:(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0,n为大于 1的正 整数),了解当 n为大于 1的实数时贝努利不等式也成立 7.会用上述不等式证明一些简单问题,能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定 函数的极值 8.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 考试说明解读 本专题在必修数学 5“不等式”的基础上,进一步学习一些重要的不等式,如绝对值不等 式、柯西不等式、排序不等式,以及它们的证明,同时了解证明不等式的一些基本方法,如 比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等,会用绝对值不等式、均值不等式、柯 西不等式、排序不等式等解决一些简单问题。高考中,只考查上述知识的方法,不对恒等变 形的难度和一些技巧作过高的要求。 回归课本 1.读教材明任务:本节要掌握的内容 (1)理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明不等式 (2)会利用绝对值的几何意义求解不等式 (3)认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义 (4)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:    n 1i 2 i n 1i 2 i ba ≥ 2 n 1i ii )ba(  (5)会用向量递归方法讨论排序不等式 (6)能证明一些简单的不等式问题,会用数学归纳法证明一些简单的不等式,包括贝努 利不等式 2.研教材究法理:本节需深入理解的问题 (1)基本不等式能推广吗?如何推广? 答:类比基本不等式,可以推广:对三个正数 a、b、c,如果 a,b,c∈R+,那么 3 cba  ≥ 3 abc,当且仅当 a=b=c时,等号成立。 证明如下:a3+b3+c3—3abc =(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc-3ab] =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) = 2 1 (a+b+c)×[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0。 ∴a3+b3+c3≥3abc,当且仅当 a=b=c时,等号成立。 如果把 a3,b3,c3分别换成 a,b,c就得到: 3 cba  ≥ 3 abc,当且仅当 a=b=c时, 等号成立。 事实上,还可以推广到一般情形:对于 n个正数 a1,a2,…,an都有: n aaa n21   ≥ n n21 aaa  ,当且仅当 a1=a2=…=an时,等号成立。 (2)我们知道对两个实数 a、b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0时,等号成立。那么, 把两实数 a、b,换成两向量 a、b,能有什么结果?如何解释? 答:对于向量 a、b,|a+b|≤|a|+|b|。当且仅当向量 a、b共线且同向时,等号成立。 证明如下:当 a,b不共线时,由向量加法的三角形法则,a+b,a,b构成三角形,因 此|a+b|<|a|+|b|。当 a,b共线且反向时,由向量加法的定义:|a+b|=||a|-|b||<|a|+|b|。当 a、b共线且同向时,|a+b|=|a|+|b|。 考点梳理 1. 两实数大小比较的三种情况 设 a、b为两个实数,它们在实轴上的点分别记为A、B。如果A落在 B的右边,则称 a大 于 b,记为 a>b;如果A落在 B的左边,则称 a小于 b,记为 a<b;如果A与 B重合,则称 a与 b相等,记为 a=b。 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>bb<a (2)传递性:a>b,b>ca>c (3)加(减):a>ba+c>b+c (4)乘(除):a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc (5)乘方:a>b>0an>bn,其中 n为正整数,且 n≥2 (6)开方(取算术根):a>b>0 nn ba  ,其中 n为正整数,且 n≥2 (7)a>b,c>da+c>b+d(本性质说明两个同向不等式相加,所得的不等式和原不等 式同向) (8)a>b>0,c>d>0ac>bd(本性质说明两边都是正数的同向不等式两边分别相乘, 所得的不等式和原不等式同向) 3.基本不等式 定理 l:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab。当且仅当 a=b时,等号成立。 定理 2:如果 a、b为正数,则 2 ba  ≥ ab ,当且仅当 a=b时,等号成立。 我们称 2 ba  为正数 a、b的算术平均值, ab 为正数 a、b的几何平均值,因而这一定 理可用语言叙述为:两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。 定理 3:如果 a、b、c为正数,则 3 cba  ≥ 3 abc,当且仅当 a=b=c时,等号成立。 我们称 3 cba  为正数 a、b、c的算术平均值, 3 abc为正数 a、b、c的几何平均值,定理 3中的不等式为三个正数的算术-几何平均值不等式,或简称为平均值不等式。 定理 4:(一般形式的算术-几何平均值不等式)如果 a1、a2、…、an为 n个正数,则 n aaa n21   ≥ n n21 aaa  ,当且仅当 a1=a2=…=an时,等号成立。 4.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法: ①c>0,则|ax+b|的解集为-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c的解集为 ax+b≥c或 ax+b≤- c,然后根据 a、b的值解出即可。 ②c<0,则|ax+b|≤c的解集为,|ax+b|≥c的解集为 R。 (2)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法,解这类含绝对值的不等式的一 般步骤: ①令每个绝对值符号里的一次式为 0,求出相应的根 ②把这些根由小到大排序,它们把实数轴分为若干个区间 ③在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间 上的解集 ④这些解集的并集就是原不等式的解集 5.绝对值的三角不等式 定理 l:若 a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0时,等号成立。 定理 2:设 a、b、c为实数,则|a-b|≤|a-c|+|c-b|,等号成立(a-c)(b-c)<0,即 c落 在 a、b之间。 推论 l:||a|-|b||≤|a|+|b|; 推论 2:||a|-|b||≤|a-b|。 学习指导 掌握方法 1. 本章是对以前所学知识的深化,通过不等式的证明,不等式的几何意义、不等式的背 景,从不等式的数学本质上加以剖析,从而提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问题的能 力、数形结合的能力和抽象思维能力。 重点要抓好以下四个方面,力求掌握。 1.绝对值不等式的解法及证明; 2.柯西不等式; 3.用不等式求函数极值; 4.数学归纳法在证明不等式方面的应用。 对于柯西不等式,注意理解: 定理 l:(柯西不等式的代数形式)设 a、b、c、d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2。上 式等号成立ad=bc。 定理 2:(柯西不等式的向量形式)设 a、b为平面上的两个向量,则|a|·|b|≥|a·b|。 定理 3:设 a、b、x、y为实数,则 2222 yxba  ≥ 22 xa  。等号成立存在非负实 数 λ及,使得a=x,b=y。 定理 4:(平面三角不等式)设 x1、x2、x3、y1、y2、y3为实数, 则 232232221221 )yy()xx()yy()xx(  ≥ 231231 )yy()xx(  。 等号成立存在非负实数 λ及,使得(x1-x2)=(x2-x3),(y1-y2)=(y2-y3)。 几何说明:定理 4中的不等式成立|AB|+|BC|≥|AC| 定理 5:设 a、b、c为平面向量,则|a-b|+|b-c|≥|a-c| 当 a-b,b-c为非零向量时,上面不等式中等号成立存在正常数 λ,使得 a-b=λ(b -c)向量 a-b与 b-c同向,即夹角为零。 定理 6:(柯西不等式的一般形式)设 ai、bi为实数,则    n 1i 2 i n 1i 2 i ba ≥ 2 n 1i ii )ba(  。 其中等号成立 n n 2 2 1 1 b a b a b a   (当 bi=0时,认为 ai=0,i=1,2,…,n) 突破难点 一、审题错误 [例 1] 已知 a>0,函数 f(x)=x3-a,x∈[0,+∞),设 x1>0,记曲线 y=f(x)在点 M(x1,f(x1))处的切线为 l。 (1)求 l的方程; (2)设 l与 x轴交点为(x2,0),求证:① x2≥ 31a ;②若 x1> 3 1 a ,则 3 1 a <x2<x1。 [解析] 从导数的几何意义入手,求出切线的斜率,导出切线方程。 (1)∵f(x)=x3-a,∴f’(x)=3x2,由此得切线 l的方程为 y-(x13-a)=3x2(x-x1)。 (2)证明:依题意,切线方程中令 y=0,得 2 1 3 1 2 x3 ax2x  。 ①x2- 31a = 2 1 3 1 2 1 23 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 x3 )ax2()ax( x3 ax3ax2  ≥0,∴x2≥ 31a ,且 x1= 31a 时,上式等号成立。 ②若 x1> 31a ,则 x13-a>0,x2-x1=- 2 1 3 1 x3 ax  <0,且由① x2> 31a ,所以 3 1 a <x2 <x1。 [失分警示]比较法是证明不等式的最基本方法,证明的步骤是作差变形判号,变形 的目的是判断符号,变形的手段通常有配方、因式分解等。 二、分类讨论思想应用错误 [例 2] 设 0<x<1,0<y<1,0<z<1,证明:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1。 [解析』构造函数 f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 整理得 f(x)=(1-y-z)x+(y+z-yz) ∵0<x<1,0<y<1,0<z<1,∴-1<1-y-z<1 ①当 0<1-y-z<1时,f(x)在(0,1)上是增函数,于是 f(x)<f(1)=1-yz<0 ②当-1<1-y-z<0时,f(x)在(0,1)上是减函数,于是 f(x)<f(0)=y+z-yz=1-(1 -y)(1-z)<1; ③当 l-y-z=0,即 y+z=1时,f(x)=y+z-yz=1-yz<1 综上,原不等式成立。 [失分警示]由于-1<1-y-z<1,所以本题就“0<1-y-z<1,-l<1-y-z<0,1-y-z =0”三种情况进行了讨论,产生错误的原因有两种可能:一是构造函数及变形时发生错误; 二是分类讨论时产生错误。
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