上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2016-03-30 12:52:11
高中数学总复习学习指导--点线面的位置关系.doc(96KB)
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0 0 类别 : 教案
第三十八讲 点、线、面的位置关系 高考考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理: 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内。 公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互 补。 2.理解空间直线、平面位置关系的定义,并掌握公理体系,掌握平面基本性质,解决两 条异面直线所成的角,直线异面、共面等相关问题。 考试说明解读 本节是基础内容,是学习立体几何的基础。 主要题型及方法: 1.证明“线共面”或“点共面”可用“归纳法”。 2.判定异面直线:定义法、反证法。 3.求异面直线所成的角:平移法、空间向量法。 4.求直线与平面所成的角:定义法、空间向量法。 5.求二面角的大小:定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、空间向量法。 本节的主要内容为共面与异面问题,细化则为平面的基本性质、异面直线的概念和判定 以及平面图形直观图的画法。其中,异面商线是历年高考命题的热点之一,需重点关注。这 个考点可能出现的形式为: 1.以几何体为依托考查空间异面直线的判定问题。 2.以几何体(棱柱、棱锥)为依托考查两条异面直线所成的角和距离,很可能将角与距离融 合到同一道试题中,一个为已知,另一个为所求。 从试题层次来看,概念考查多为选择题、填空题,难度较低,而深层次的识图考查则往 往融于解答题之中。 在 2009年高考中,共有七套试卷主要考查此知识点,主要考查平面的基本性质和空间 想象能力。预测 2011年高考对该节的直接考查力度可能不大,但经常出一些创新型题目,具 体预测如下: (1)题目多出一些选择、填空题,经常出一些考查空间想象能力的试题;解答题多考查位 置关系、夹角距离,要想象出其中点线面间的位置关系; (2)研究立体几何问题时要重视多面体的应用,才能发现隐含条件,利用隐含条件解题。 回归课本 1.读教材明任务:本节要掌握的内容 (1)平面的基本性质 (2)异面直线的定义 (3)异面直线的判断 (4)异面卣线所成的角 2.研教材究法理:本节需深入理解的问题 (1)证明空间的三点共线是否与平面几何中证明三点共线类似? 答:不相同。空间中证明三点共线是证明三点均在两个平面的交线上,而在平面几何中 则常用两点确定一条直线,再证明第三个点在这条直线上。 (2)判定异面直线有哪些方法?证明两直线异面呢? 答:判定两条直线异面一般有定义法和衬托平面法,而证明两条直线异面常用直接法 和反证法。 (3)平面几何中“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互 补”。空间中,这样的结论还成立吗? 答:仍然成立。也可以当作一条定理使用。用构造全等三角形的办法可以证明它的正确 性。 考点梳理 1.双基表 2.如图,直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C,判断这三条直线是否共面, 并说明理由。回答是肯定的,这三条直线共面,理由如下: ∵直线AB和AC相交于点A, ∴直线AB和AC确定一个平面 α(推论 2)。 ∵B∈直线AB,C∈直线AC,∴B∈α,C∈α。∴BCα(公理 l)。 因此,直线AB、BC、CA都在平面 α内,即它们共面。 3.空间两条直线的位置关系 4.平行直线 平行于同一条直线的两条直线互相平行,这就是公理 4。 用符号表示如下:设 a,b,c为直线,a∥b且 b∥c,则 a∥c。 5.等角定理 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相 等。 6.异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 (2)性质:两条异面直线既不相交又不平行。 (3)判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内 不经过该点的直线是异面直线。 图形语言如图所示,该图形的符号语言是:已知 aα,Aα,Bα,Ba直线AB和 a是异面直线。 7.两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐角或 直角叫做这两条异面直线所成的角。若记这个角为 θ,则 θ∈(0°,90°]。 8.两条异面直线的距离 (1)公垂线的定义:和两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线。 (2)两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距 离。 (3)任何两条异面直线的公垂线都是存在且唯一的。 学习指导 掌握方法 1.切实记住平面的基本性质,进一步掌握确定平面的条件,证明共点、共线及共面问题 的基本方法。 2.深刻理解有关概念,掌握异面直线的判定和计算异面直线所成的角及距离的基本方法。 在采用反证法判定异面直线时,可以分两种途径去论证:一是假设这两条直线共面;二是 假设这两条直线平行或相交。 3.关于距离的计算是立体几何里最常见、最基本的计算,其中求异面直线的距离最为困 难,按最近教育部提出调整的教学内容精神,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出 公垂线时的距离。具体解法可为两步:(1)证明;(2)计算。 4.应充分认识面面关系、线面关系、线线关系之间的相互转化过程,熟练掌握转化条件。 5.求证三点及三点以上的点共线,主要依据公理 3,只要证明这些点都是两个平面的公 共点,那么它们都在这两个平面的交线上。求证三条直线或三条以上的直线共点的一般方法: 首先证明两条直线交于一点,再证其余各直线都经过这点。处理好这类问题是解决高考中立 体几何题型的基础。 值得提出的是两异面直线间的距离,求法很多,但现在降低了难度,一般只要求会求 给出公垂线段时的距离。 突破难点 1.“平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念,是由现实生活中例如镜面、平静的水 面等实物抽象出来的数学概念。但又与这些实物有根本的区别,具有无限延展性,也就是说 平面没有边界,没有大小、宽窄、薄厚之分,平而这种性质与直线的无限延伸性是相通的。 2.注意四个公理及三个推论的文字语言、图形语言、符号语言的转换和交替使用。 (1)公理 l:A∈l,B∈l,A∈α,B∈αlα。运用公理 l可证明直线是否在某一平面内。 (2)公理 2:A、B、C不共线A、B、C确定平面 α。 推论 l:AlA,l确定 α; 推论 2:a∩b=Aa,b确定 α; 推论 3:a∥ba,b确定 α。 公理 2及其三个推论是四个等价命题,是确定平面的依据。确定一个平面,包括两层意 思:一是存在一个平面,二是只有一个平面。 (3)公理 3:A∈α,A∈βα∩β=l且A∈l。这是确定两个平面相交于一条直线的依据, 运用公理 3可判定诸点共线或点在线上。 (4)公理 4:a∥b,b∥ca∥c,也叫做空间平行线的传递性。 它表明:空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。 3.异面直线是本节的重点和难点,关键是正确理解异面直线的定义,其特征是既不相交, 又不平行。 判定空间两条直线是异面直线的方法: (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点 B的连线和平面内不经过该点 B的直线是异 面直线。 (2)反证法:证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面,从而可得两直线异 面。 4.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共 面问题来解决。根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往 往将角的顶点取在其中的一条直线上,特别地,可以取其中一条直线与另一条直线所在平 面的交点或异面线段的端点。总之,顶点的选择要与已知量有关,以便于计算,具体步骤如 下: (1)利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置, 顶点选在特殊的位置上。 (2)证明作出的角即为所求角。 (3)利用三角形来求角,异面直线所成角的范围是(0°,90°]。 5.异面直线的距离只要求会计算给出公垂线时的情形。另外,平行直线在空间中仍具有 传递性,即公理 4所推出的“等角定理”成为立体几何中分析线线角、线面角、面面角的理论基 础。 6.图形对于分析空间元素的位置关系,展开想象、探索解题思路是至关重要的,因此复 习时应重视两个问题:一是画图与识图,即能正确运用实、虚线画出结构合理的直观示意图, 能正确识别空间元素点、线、面的位置关系。二是要重视改变视角的非常规位置的画法训练(如 倒置或横、竖放置等),借助图形思考,能正确判定空间图形位置、形状及存在的数量关系, 寻找解题思路或途径。 [例 l]α、β是两个不重合的平面,在下列条件下,可判定 α∥β的是 A.α、β都平行于直线 l、m B.α内有三个不共线的点到 β的距离相等 C.l、m是 α内的两条直线且 l∥β,m∥β D.l、m是两条异面直线且 l∥α,m∥α,l∥β,m∥β [答案]D [解析]对于A,l和m应相交;对于 B,应考虑三个点在 β的同侧或异侧两种情况;对 于 C,l和m应相交。故选D。 [错因分析]对于A,实际上是面面平行的判定定理,但直线必须相 交;对于 B,只考虑三点在同侧而没有考虑异侧;对于 C易丢 l和m相 交这一条件。 [例 2]已知直线 l与三条平行直线 a、b、c都相交。 求证:四条直线 l、a、b、c共面。 [解析]共面问题的证明常有下列方法:1.先作一个平面,再证明有关的点或线在这个平 面内;2.先过某些点或线作多个平面,再证明这些平面重合;3.用反证法。本题采用方法 2证 明较好。 如图所示,设 a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C。 ∵a∥b,∴过 a、b可以确定一个平面 α。 ∵A∈a,B∈b,a、bα, ∵A∈α,B∈α,∴ABα,即 lα。 又∵b∥c,∴过 b、c可以确定一个平面 β,同理可证 lβ。 ∵α、β都过相交直线 b、l,∴α与 β重合,即 a、b、c、l共面。 [失分警示]因为 l与 a相交,所以 l与 a共面,同理 l与 b共面,l与 c共面,故 l与 a、b、c 共面。错因是 l与 a共面于 α,l与 b共面于 β,但 α、β却未必是同一平面,因而也就推不出 l 与 a、b共面。 启示:1.证明若干点共线问题,只需证明这些点同在两个相交平面内即可。 2.证明三线共点,只需证明其中两线相交,然后证明另一线也过交点。
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高中数学总复习学习指导--点线面的位置关系

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