上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2016-07-15 09:42:49
知识提要38-空间点、线、面之间的位置关系.doc(329KB)
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0 0 类别 : 教案
空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要点 ①理解空间直线、平面位置关系的定义. ②了解可以作为推理依据的公理和定理. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 命题规律 题型示例:高考试题对本节内容主要考查运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形 的位置关系的简单命题,题型以选择题和填空题为主,属容易题,如 2013浙江,4. 能力要求:高考试题对本节能力的考查以理解为主,主要考查学生的空间想象能力和推理论 证能力. 备考策略 1.热点预测 预计高考对本节内容的考查仍将以线面的位置关系的判断为主. 2.趋势分析 以三棱锥、四棱锥或三棱柱、四棱柱为载体,考查直线与平面平行和垂直的位置关系的趋势较 强,在复习备考中应予以关注. 基础知识   1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面 内. 公理 2:过 不在同一条直线上 的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条 过该点的公共 直线.   2.空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 图形 语言 符号 语言 a b∥ a α∥ α β∥ 交点 个数   0   个   0   个   0   个 图形 语言 符号 语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 交点 个数   1   个   1   个  无数 个 图形 语言 符号 语言 a,b是异面直线 aα 交点 个数 0个 无数个   3.公理 4和等角定理 (1)公理 4:平行于 同一条直线 的两条直线互相平行.用符号表示:设 a,b,c为三条直线, 若 a b,b c,∥ ∥ 则 a c.∥ (2)等角定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别 平行 ,那么这两个角 相等或互补 . 4.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点O作直线 a' a,b' b,∥ ∥ 把 a'与 b'所成的  锐角 ( 或直角 )   叫做异面直线所成的角(或夹角). (2)范围: ],( 20  . 课前练习 1.若异面直线 a,b分别在平面 α,β内,且 α∩β=l,则直线 l(  ) A.与直线 a,b都相交 B.至少与 a,b中的一条相交 C.至多与 a,b中的一条相交 D.与 a,b中的一条相交,另一条平行 2.已知 a、b是异面直线,直线 c∥直线 a,那么 c与 b(  ) A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线 BB1与AD1所成角的余弦值为(  ) A. 3 2 B. 2 3 C. 2 1 D. 2 2 4.对于直线m、n和平面 α,下列命题中为真命题的是(  ) A.如果mα,nα,m、n是异面直线,那么 n α∥ B.如果mα,n与 α相交,那么m、n是异面直线 C.如果mα,n α,m∥ 、n共面,那么m n∥ D.如果m α,n α,m∥ ∥ 、n共面,那么m n∥ 5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱 C1D1、C1C的中点,有以下四个结论: ①直线AM与 CC1是相交直线; ②直线AM与 BN是平行直线; ③直线 BN与MB1是异面直线; ④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为    .(把你认为正确的结论序号都填上) 典例剖析 一、平面的基本性质及应用   例 1  如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形, BAD= FAB=90°,BC∠ ∠ ∥AD, 且 BC= 2 1 AD,BE∥FA,且 BE= 2 1 FA,G、H分别为 FA、FD的中点. (1)证明:四边形 BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?请说明理由. 解析 (1)证明:由已知G、H分别为 FA、FD的中点有 FG=GA,FH=HD, 得GH∥AD,且GH= 2 1 AD. 又 BC∥AD,且 BC= 2 1 AD, GH∴ ∥BC,GH=BC, ∴四边形 BCHG是平行四边形. (2)解法一:C、D、F、E四点共面.理由如下: 由 BE∥FA,且 BE= 2 1 FA,且G为 FA中点知 BE∥GF,BE=GF, ∴四边形 BEFG为平行四边形, ∴EF BG.∥ 由(1)知 BG CH, EF CH,∥ ∴ ∥ ∴EF与 CH共面. 又D FH, C∈ ∴ 、D、F、E四点共面. 解法二:C、D、F、E四点共面.理由如下: 如图所示,延长 FE、DC分别与AB交于点M、M', ∵BE∥FA,且 BE= 2 1 FA, ∴B为MA中点, ∵BC∥AD,且 BC= 2 1 AD, ∴B为M'A中点, ∴M与M'重合,即 FE与DC交于点M(M'), ∴C、D、F、E四点共面. 方法总结 1.证明三点共线的两种方法 (1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,于是可得这三点都在交线 上,即三点共线. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在这条直线上,从而得三点共线. 2.证明三线共点的思路 先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题化归到证明点在直线上的问题. 通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.   变式训练 1  如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求 证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点. 二、空间中两直线的位置关系   例 2  如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: (1)AM和 CN是否是异面直线?说明理由. (2)D1B和 CC1是否是异面直线?说明理由. 解析 (1)不是异面直线. 理由:连结MN,A1C1,AC. ∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点, MN A∴ ∥ 1C1. 又∵A1A∥C1C,A1A=C1C, A∴ 1ACC1为平行四边形, ∴A1C1 AC, MN AC,∥ ∴ ∥ ∴A,M,N,C在同一平面内, 故AM和 CN不是异面直线. (2)是异面直线. 理由: ABCD-A∵ 1B1C1D1是正方体, B,C,C∴ 1,D1不共面. 假设D1B与 CC1不是异面直线, 则存在平面 α,使D1B平面 α,CC1平面 α, ∴D1,B,C,C1 α,∈ 这与 B,C,C1,D1不共面矛盾. ∴假设不成立,即D1B和 CC1是异面直线. 方法总结 判定直线位置关系的方法: 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法 或反证法;对于平行直线,可利用中位线的性质及线面平行的性质;对于垂直关系,往往利用线 面垂直的性质来解决.   变式训练 2  如图所示,G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN是异面直线的图形有    (填上所有正确答案的序号). 三、求异面直线所成的角   例 3  如图,正四面体ABCD的棱长为 a,E、F分别是AD、BC的中点.求 EF、CD所成角的 大小. 解析 设G是AC的中点,如图所示,连结GE,GF,则GE CD,∥ 所以∠GEF是直线 EF、CD所成的角,设为 θ. 因为 E、F分别为AD、BC的中点, 所以 CE AD,AF BC,DF BC.⊥ ⊥ ⊥ 因为AF∩DF=F,所以 BC⊥平面AFE,所以 EF BC.⊥ 所以 EF2=EC2-CF2=CD2-CF2-DE2=a2- 2 1 a2= 2 1 a2,FG=EG= 2 1 a, 所以 cos θ= 2 2 2 1 2 22 4 1 4 1 2 1 222    aa aaa ,则 θ=45°. 所以 EF、CD所成角的大小为 45°. 方法总结 1.找异面直线所成的角的方法 一般有三种找法:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移; 补形平移. 2.求异面直线所成角的三个步骤 (1)作:通过作平行线得到相交直线. (2)证:证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角. (3)算:通过解三角形求出该角.   变式训练 3  如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长均为 1的正四棱柱,高AA1=2, 求: (1)异面直线 BD与AB1所成角的余弦值; (2)四面体AB1D1C的体积.
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