上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2016-07-15 09:56:35
知识提要59-坐标系与参数方程.doc(283KB)
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0 0 类别 : 教案
坐标系与参数方程 考试要点 (1)坐标系 ①理解坐标系的作用. ②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的 位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过 比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义. ⑤了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的 位置的方法相比较,了解它们的区别. (2)参数方程 ①了解参数方程,了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. ③了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 命题规律 题型示例:高考试题对本节内容主要考查极坐标与直角坐标的互化及参数方程与普通方程 的互化,如 2013广东,14. 能力要求:高考试题对本节能力的考查以理解为主,主要考查学生的分析理解能力和运算求 解能力. 备考策略 1.热点预测 在高考中,极坐标与直角坐标的互化是考查的热点,中等难度. 2.趋势分析 本节内容在高考试题中的命题形式灵活,给出曲线的参数方程求交点的坐标或求参数的值的 命题趋势较强,在复习备考中应予以足够的重视. 基础知识   1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:     )( )( 0 0 yy xx 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图,在平面内取一个定点O,点O叫做极点,自极点O引一条 射线 Ox,叫做极轴;再 选定一个 长度单位 、一个 角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这 样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标 3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:     sin cos y x 或      x y yx tan 222 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r的圆 ρ=r 圆心为(r,0),半径为 r的圆 ρ=2rcos θ, ],[ 22  圆心为 ),( 2 r ,半径为 r的圆 ρ=2rsin θ(0≤θ≤π) 过极点,倾斜角为 α的直线 θ=α(ρ R)∈ 或 θ=π+α(ρ R)∈ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos θ=a 过点 ),( 2 a ,与极轴平行的 直线 ρsin θ=a 5.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数 t的函数     )( )( tgy tfx ,并且对于 t取的每一个允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么这个方程组就叫做这条曲线的 参数方程 ,联系 x,y之间关系的变数 t叫做参变数,简 称 参数 . 6.直线、圆、椭圆的参数方程 曲线 参数方程 过点M(x0,y0),倾斜角为 α的直线 l     sin cos tyy txx 0 0 (t为参数) 圆心在点M0(x0,y0),半径为 R的圆     sin cos Ryy Rxx 0 0 (θ为参数) 圆心在原点,半径为 R的圆     sin cos Ry Rx (θ为参数) 椭圆 12 2 2 2  b y a x (a>b>0)     sin cos by ax (φ为参数) 课前练习 1.圆 C的参数方程为     sin cos 22 2 y x (θ为参数),则圆 C的普通方程为       ,以原点 O为极点,以 x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则圆 C的圆心极坐标为    . 2.直线     sin cos ty tx 与圆     sin cos 2 24 y x 相切,则 θ=    . 3.过圆 ρ=2cos θ的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为       . 4.若直线     ty tx 32 21 (t为参数)与直线 4x+ky=1垂直,则常数 k=   . 5.在直角坐标系 xOy中,已知曲线 C的参数方程是     1sin cos y x (θ是参数),若以O为极点,x 轴的正半轴为极轴,则曲线 C的极坐标方程可写为    . 典例剖析 一、求曲线的极坐标方程   例 1  (2013湖南岳阳模拟)以极坐标系中的点(1, 6  )为圆心,1为半径的圆的极坐标方 程是    . 答案 ρ=2cos(- 6  ) 解析 在极坐标系中,圆心(1, 6  )的直角坐标为 ),( 2 1 2 3 ,由半径为 1,得圆的直角坐 标方程为(x- 2 3 )2+(y- 2 1 )2=1,即 x2+y2- 3 x-y=0, 由公式     sin cos y x 得 ρ2=ρ( 3 cos θ+sin θ), 即 ρ=2cos(- 6  )为所求. 方法总结 (1)求曲线方程,首先要根据条件建立适当的平面直角坐标系(或极坐标系). (2)设出曲线上任意一点的坐标为M(x,y),找出此动点满足的几何条件,最后通过代数变换化 简方程即可. (3)在平面直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法.在极坐标系 中,求曲线的极坐标方程以上几种方法仍然是适用的.   变式训练 1  如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线 l与极轴的夹角 α= 6  .若将 l的极 坐标方程写成 ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)=    . 二、极坐标方程与直角坐标方程的互化   例 2  极坐标方程 ρcos(- 6  )=1所表示的直角坐标方程是    . 答案  3 x+y-2=0 解析 由 ρcos(- 6  )=1,得 2 3 ρcos θ+ 2 1 ρsin θ=1, 将 ρcos θ=x,ρsin θ=y代入上式, 得 2 3 x+ 2 1 y=1, 即 3 x+y-2=0. 方法总结 极坐标方程与直角坐标方程的转化公式 由公式     sin cos y x 可以将极坐标方程化为直角坐标方程,由公式      x y yx tan 222 可以将直角坐 标方程化为极坐标方程.   变式训练 2  在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线 l:ρsin(- 4  )= 2 2 .求: (1)圆O的直角坐标方程是    ; (2)直线 l的直角坐标方程是    . 三、参数方程的应用   例 3  (2013广东湛江模拟)设 P(x,y)是曲线 C:     sin cos y x 2 (θ为参数)上任意一点,则 x y 的取值范围是    . 答案  ],[ 3 3 3 3 解析 由 P(x,y)是曲线 C:     sin cos y x 2 (θ为参数)上任意一点,则 k=   cos sin 2x y , 即 sin θ-kcos θ=-2k,得 21 k sin(θ-φ)=-2k,sin(θ-φ)= 21 2 k k   , 所以 0≤ 221 2 )( k k   ≤1,即 k2≤ 3 1 ,解得- 3 3 ≤k≤ 3 3 , 所以 x y 的取值范围是 ],[ 3 3 3 3 . 方法总结 (1)圆锥曲线的参数方程与三角函数的关系密切,解题时要注意角的取值范围. (2)一般地说,如果题目中涉及圆锥曲线上的动点,应考虑用参数方程来表示点的坐标,可使解 题目标明确,过程表达清晰,求解方便.   变式训练 3  在平面直角坐标系下,已知曲线 C1:     ty atx 22 (t为参数)和曲线 C2:     sin cos 21 2 y x (θ为参数),若曲线 C1,C2有公共点,则实数 a的取值范围为    . 四、坐标系与参数方程的综合应用   例 4  已知在平面直角坐标系 xOy中,圆 C的参数方程为      sin cos 31 33 y x (θ为参数),以 Ox为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 ρcos(+ 6  )=0,则圆 C截直线 l所得的弦长 为   . 答案 4 2 解析 消去参数 θ,得圆 C的普通方程为(x- 3 )2+(y-1)2=9. 由 ρcos(+ 6  )=0,得 2 3 ρcos θ- 2 1 ρsin θ=0. ∴直线 l的直角坐标方程为 3 x-y=0. 则圆心( 3 ,1)到直线 l的距离为 d= 22 13 133   )( || =1. 设圆 C截直线 l所得弦长为m, 则 22192 22  drm , ∴m=4 2 . 方法总结 极坐标方程和参数方程均可转化为直角坐标方程,转化后可使问题变得更加直观,它体现了 化归思想的具体运用.   变式训练 4  已知极点在直角坐标系的原点O处,极轴与 x轴的正半轴重合,曲线 C的极 坐标方程为 ρ=2cos θ,直线 l的参数方程为      ty tx 5 41 5 3 (t为参数),求曲线 C上的点到直线 l的 最短距离.
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