上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2018-05-16 19:42:57
2018年普通高中学业水平考试数学模拟试卷四参考答案.pdf(235KB)
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1 2018年普通高中学业水平考试 数学模拟试卷(四) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分:时量 120分钟,满分 100分. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上. 2.选择题和非选择题均须在答题卡土作答,在本试卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按答 题卡中注意事项的要求答题. 3.本卷共 8页,如缺页,考生须及时报告监考老师,否则后果自负. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 一、填空题:本大题共 10小题,每小题 4分,满分 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合M={0,1,3},集合N={0,2,4},则 A.{0}∈M∩N B.M∪N={0,1,2,3,4} C.M∩N=∅ D.M∪N={1,2,3,4} 解:M∪N={0,1,2,3,4},选B 2.直线 3x+y+2=0的倾斜角是 A.30° B.45° C.60° D.120° 解:k=tanα=- 3,α=120°,选D 3.下图左是一个正方体被截去一个三棱锥所得几何体的直观图,则其俯视图是 解:选C 4.在等差数列{an}中,已知 a4=-2,a8=2,则 S12= A.8 B.7 C.6 D.5 解:由 a4=-2,a8=2,知 d=1,a1=-5,a12=6,所以 S12=6,选C 5.已知 a>0,a≠1,M>0,则下列各式中错误的是 A.loga1=0 B.logaa=1 C.loga2M=2logaM D.logaM2=2logaM 解:选C 6.已知 sinα=-45,且α为第四象限角,则 tanα的值为 A.43 B. 3 4 C.- 3 4 D.- 4 3 解:由 sinα=-45,且α为第四象限角,知 cosα= 3 5,所以 tanα=- 4 3,选D 2 7.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为 a、b、c,已知 a=1,sinA=13,sinB= 2 3,则 b= A.2 B.3 C.4 D.5 解:由正弦定理可知11 3 = a sinA= b sinB= b 2 3 ,所以 b=2,选A 8.执行如图所示的程序,则输出的结果是 A.1 B.2 C.5 D.8 解:A=3*3-4=5,选C 9.函数 f(x)=2x+x-4的零点所属区间为 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解:由于 f(1)=-1<0,f(2)=2>0,所以选B 10.右图是 2017年“唱响中国”电视歌手大奖赛中,七位专家评委为甲、乙两名选手打出的分数的 茎叶图(其中 m,n为数字 0~9中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得 分的平均数分别为 a1,a2,则一定有 A.a1>a2 B.a1,a2的大小与m的值有关 C.a2>a1 D.a1,a2的大小与m,n的值都有关 解:a1=80+15+m5 =83+ m 5,a2=85,显然 a1<a2,选C 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C C D A C B C 二、填空题:本大题共 5小题,每小题 4分,满分 20分. 11.将函数 f(x)=cosx的图像向右平移π6得到函数 g(x)的图像,则 g( π 3)=________. 解:首先 g(x)=cos(x-π6),故 g( π 3)=cos π 6= 3 2 12.若圆(x+1)2+(y+2)2=9的圆心在直线 y=3x+t上,则实数 t=________. 解:将 x=-1,y=-2代入 y=3x+t,知 t=1 13.若 x,y满足约束条件    ≤ ≥+ ≥ 2 1 y yx xy ,则目标函数 z=-12x+y的最小值为________. 解:画出可行域,知 x=y=12时,z取得最小值 1 4 14.已知|a|=1,|b|=2,且 a与 b的夹角为 120°,则(a-3b)⋅(a+b)=________. 解:(a-3b)⋅(a+b)=a2-2a⋅b-3b2=1-2×1×2×(-12)-3×4=-9 3 15.如图,已知圆O的半径长为 5,正方形ABCD内接于半圆O内。在半圆O内随机撒一粒豆 子,则它落在阴影部分的概率为________. 解:设OB=x,则BC=2x,于是OC= 5x,所以 x=2,从而 S 阴=4,又 S 半圆=5π2,因此概率 P= 8 5π 三、解答题:本大题共 5小题,满分 40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 6分) 已知 f(x)=sin2x+2sinxcosx+cos2x. (1)求 f(π3)的值; (2)求 f(x)的最小正周期和最小值. 解:(1)∵f(x)=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x,∴f(π3)=1+ 3 2 ; (2)由于 f(x)=1+sin2x,所以 T=π,f(x)的最小值为 0。 17.(本题满分 8分) 已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且 2 3 2 3 1 −= +n nS (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 }1{ na 的前 n项和 Tn. 解:(1)∵n=1时,a1=S1=3,n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n,∴an=3n,n∈N*; (2)由于 n na ) 3 1(1 = ,所以 ) 3 11( 2 1 2 11 )) 3 1(1( 3 1 n n nT −=− −⋅ = 。 18.(本题满分 8分) 某种加工零件按质量标准分为五个等级.现从一批该产品中随机抽出 20个,对其等级进行统计分 析,得到频率分布表如下: 等级 一 二 三 四 五 频率 0.05 0.30 0.20 0.35 0.10 (1)求抽出零件中等级为三和五的个数; (2)从等级为三和五中的所有零件中,随机抽出 2个,求抽出的 2个零件中等级恰好各有一个的概 率. 解:(1)三等品个数为 20×0.20=4(个),五等品的个数为 20×0.10=2(个); (2) 15 8 2 6 1 2 1 4 == C CCP 。 4 19.(本题满分 8分) 如图,在三棱锥 P-ABC中,底面△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,PO⊥平面ABC,AO 与BC交于点D,PO=3,AO=32OD,AP⊥BC,且∠PAO=45°. (1)求证:AD⊥BC; (2)求三棱锥 P-ABC的体积. 证:(1)∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥BC,又AP⊥BC,且AP∩PO=P, ∴BC⊥平面 PAO,从而BC⊥AO,即AD⊥BC; 解:(2)由(1)及等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,知D为BC中点, 再由 PO=3,AO=32OD,∠PAO=45°,知AO=3,OD=2,AD=5,BC=10,AC=AB=5 2, 因而VP-ABC=13⋅ 1 2⋅5 2⋅5 2=25。 20.(本题满分 10分) 已知函数 f(x)=log2(1+x)-log2(1-x). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)求证:f(x)是奇函数. (3)是否存在常数 a使方程 f(x)=log4(ax)的一个根为12,若存在,求出 a的值,并求出此时方程的其 他的根,否则,请说明理由.(温馨提示:若方程 g(x)=0有一个根 x=ba,则 g(x)必含有因式 ax-b.) 解:(1)由   >− >+ 01 01 x x ,知-1<x<1,即定义域为(-1,1); (2)∵f(x)=log2(1+x)-log2(1-x),-1<x<1,∴f(-x)=log2(1-x)-log2(1+x)=-f(x),故 f(x)是奇函数; (3)∵方程 f(x)=log4(ax)有一个根为12,∴log2 3 2-log2 1 2=log4 a 2,即 log23= 1 2log2 a 2,因此 a=18; 于是方程 f(x)=log4(ax)可化为 log21+x1-x= 1 2log2(18x),即(1+x) 2=18x(1-x)2, 整理,得 18x3-37x2+16x-1=0,即(2x-1)(9x2-14x+1)=0,所以 x=12, 9 1027 ±=x , 注意到-1<x<1,方程还有另一个根 9 1027 − 。
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