上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2018-06-12 22:37:39
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题(湖南)参考答案.pdf(239KB)
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0 0 类别 : 试卷
1 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B= A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2} 解:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2},选A 2.设 z=1-i1+i+2i,则|z|= A.0 B.12 C.1 D. 2 解:∵z=1-i1+i+2i= -i(1+i) 1+i +2i=i,∴|z|=1,选C 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区 农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼 图: 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解:设建设前的经济收入为 a,则建设后的经济收入为 2a,于是建设前后的种植收入分别为 0.6a 与 0.74a,因而A错误。 4.已知椭圆C: 14 2 2 2 =+ ya x 的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 A.13 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 2 3 解:a2=b2+c2=8,e=ca= 2 2 ,选C 5.已知圆柱的上下底面的中心分别为O1、O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 第三产业收入第三产业收入 其他收入其他收入 养殖收入养殖收入 种植收入 种植收入 建设后经济收入构成比例建设前经济收入构成比例 6% 4% 60% 37% 28% 5% 30%30% 2 的正方形,则该圆柱的表面积为 A.12 2π B.12π C.8 2π D.10π 解:∵2r=h,且 2rh=8,∴r= 2,h=2 2,故 S 表=2πr2+2πrh=12π,选B 6.设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 解:∵函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,∴a=1,所以 f(x)=x3+x,于是 k 切=f′(0)=1, 因此曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y-0=1⋅(x-0),即 y=x,选D 7.在△ABC中.AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则 =EB A. ACAB 4 1 4 3 − B. ACAB 4 3 4 1 − C. ACAB 4 1 4 3 + D. ACAB 4 3 4 1 + 解: ACABACABACABCBADDBEDEB 4 1 4 3)(2 1)(4 1 2 1 2 1 −=−++=+=+= ,选A 8.已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 A.f(x)的最小正周期为π,最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 4 解:∵f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=32cos2x+ 5 2,∴选B 9.某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面上,从M到 N的路径中,最 短路径的长度为 A.2 17 B.2 5 C.3 D.2 解:将圆柱的侧面展开成矩形,知|MN|= 5242 22 =+ ,选B 10.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面 BB1C1C所成的角为 30°,则该长方体 的体积为 A.8 B.6 2 C.8 2 D.8 3 解:∵AC1与平面BB1C1C所成的角为 30°,即∠AC1B=30°,∴AC1=4,BC1=2 3,CC1=2 2,因 而V=AB⋅BC⋅CC1=8 2,选C 11.已知角α的项点为坐标原点,始边与 x轴的非负半轴重合,终边上有两点 A(1,a),B(2,b), 且 cos2α=23,则|a-b|= A.15 B. 5 5 C. 2 5 5 D.1 解:依题意, α α 2 2 tan1 tan1 3 2 + −= ,∴tan2α=15,又 tanα=b-a,故|a-b|= 5 5 ,选B B A 3 12.设函数   > ≤= − 0,1 0,2)( x xxf x ,则满足 f(x+1)<f(2x)的 x的取值范围是 A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0) 解:当 x≤-1时,f(x+1)<f(2x)可化为 2-x-1<2-2x,解得 x<1,取 x≤-1; 当-1<x≤0时,f(x+1)<f(2x)可化为 1<2-2x,解得 x<0,取-1<x<0; 当 x>0时,f(x+1)<f(2x)可化为 1<1,无解。 综上,选D 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A C B D A B B C B D 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分 13.已知函数 f(x)=log2(x2+a),若 f(3)=1,则 a=________. 解:1=f(3)=log2(9+a)⇔9+a=2⇔a=-7。 14.若 x,y满足约束条件    ≤ ≥+− ≤−− 0 01 022 y yx yx ,则 z=3x+2y的最大值为________. 解:画出可行域ABC,其中A(-1,0),B(-4,-3),C(2,0),当动直线 z=3x+2y经过点C时,z取 得最大值 6。 15.直线 y=x+1与圆 x2+y2+2y-3=0交于A、B两点,则|AB|=________. 解:因为圆心为(0,-1),半径为 2,所以|AB|= 22) 11 |110|(42 222 =+ ++− 。 16.△ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c,已知 bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8, 则△ABC的面积为________. 解:∵bsinC+csinB=4asinBsinC,∴由正弦定理可得 sinA=12, 又 b2+c2-a2=8,∴2bccosA=8,从而 bc=8 33 ,于是 S△= 1 2bcsinA= 2 3 3 。 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60分。 17.(12分) 已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an,设 n ab nn = 。 (1)求 b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求{an}的通项公式。 4 解:(1)∵a1=1,nan+1=2(n+1)an,∴a2=4,a3=12,a4=32,又 n ab nn = ,∴b1=1,b2=2,b3=4; 证:(2)∵nan+1=2(n+1)an,且 n ab nn = ,∴ 2)1( 11 =+= ++ n n n n an na b b , 因而{bn}是首项为 1,公比为 2的等比数列; 解:(3)由(1)及(2)知 bn=2n-1,所以 an=n⋅2n-1。 18.(12分) 如图,一平行四边形 ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以 AC为折痕将△ACM折起,使点 M到达点D的位置,且AB⊥DA。 (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积。 证:(1)∵平行四边形ABCM中,∠ACM=90°,∴AB⊥AC, 又AB⊥AD,且AC∩AD=D,∴AB⊥平面ACD, 而AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC; 解:(2)∵(1)已证AB⊥平面ACD,∴AB⊥CD, 又CD⊥CA,CA∩AB=A,∴CD⊥平面ABC, 又BP=DQ=23DA, ∴S△ABP=23S△ABC=3,点Q到平面ABC的距离 d= 1 3DC= 1 3MC= 1 3AB=1, 因此VQ-ABP=13⋅S△ABP⋅d=1。 19.(12分) 某家庭记录了未使用节水龙头 50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头 50天的日用水 量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头 50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7] 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6] 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在答题卡上作出使用了节水龙头 50天的日用水量数据的频率分布直方图; (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量少于 0.35m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按 365天计算,同一组中的数据以这组 数据所在区间中点的值作代表。) 5 解:(1)使用了节水龙头 50天的日用水量数据的频率分布直方图如下: (2)使用节水龙头后,日用水量少于 0.35m3的概率为 0.2×0.1+1.0×0.1+2.6×0.1+2.0×0.05=0.48; (3)∵未使用节水龙头的日平均用水量为: 0.05×0.02+0.15×0.06+0.25×0.04+0.35×0.08+0.45×0.18+0.55×0.52+0.65×0.10=0.48, 使用节水龙头后的日平均用水量为: 0.05×0.02+0.15×0.10+0.25×0.26+0.35×0.20+0.45×0.32+0.55×0.10=0.35, ∴使用节水龙头后,一年能节省水:(0.48-0.35)×365=47.45(m3)。 20.(12分) 设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线 l与C交于M、N两点。 (1)当 l与 x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN。 解:(1)当 l与 x轴垂直时,l的方程为 x=2,与 y2=2x联立,得点M的坐标为(2,2)或(2,-2), 所以直线BM的方程为 y-0=12(x+2)或 y-0=- 1 2(x+2),即 y= 1 2x+1或 y=- 1 2x-1; (2)当 l与 x轴垂直时,由图形的对称性知∠ABM=∠ABN; 若 l与 x轴不垂直,则可设 l的方程为 y=k(x-2),与 y2=2x联立,得 k2x2-(4k2+2)x+4k2=0, 于是 4,24 212 2 21 =+=+ xxk kxx , 要证∠ABM=∠ABN,只需证 kBM+kBN=0, 事实上,kBM+kBN= )2)(2( )(2 22 21 211221 2 2 1 1 ++ +++=+++ xx yyxyxy x y x y , 其中分子=k(x1-2)x2+k(x2-2)x1+2[k(x1-2)+k(x2-2)]=2kx1x2-8k=0, 综上,总有∠ABM=∠ABN。 21.(12分) 已知函数 f(x)=aex-lnx-1。 (1)设 x=2是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间; (2)证明:当 a≥1e时,f(x)≥0。 6 解:(1)∵x=2是 f(x)的极值点,∴f′(2)=0,即 ae2-12=0,因而 22 1 ea = ,故 f(x)= 22 1 e e x-lnx-1; 又 202 21 2 1)( 2 2 2 =⇒=−=−=′ xxe exe xeexf x x , 且 x∈(0,2)时,f′(x)<0,x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)的单调减区间为(0,2),单调增区间为(2,+∞)。 证:(2)由于 x axe xaexf x x 11)( −=−=′ 是(0,+∞)上的增函数, 记 h(x)=axex-1,则 h′(x)=aex+axex=aex(x+1)>0对 x∈(0,+∞)恒成立, 所以 h(x)是(0,+∞)上的增函数,从而 h(x)>h(0)=-1, 又 h(1)=ae-1≥0(∵a≥1e), 故 x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 因而 f(x)≥f(1)=ae-1≥0。 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计 分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2,坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程。 解:(1)C2的直角坐标方程为 x2+y2+2x-3=0,即(x-1)2+y2=4; (2)由于曲线C1:y=k|x|+2关于 y轴对称,所以C1与C2有且仅有三个公共点时,必然是C1的左支 与圆(x-1)2+y2=4 相切,所以 2 1 |201| 2 =+ −+⋅ k k ,因而 k=-43或 0(舍),此时C1的方程为 y=- 4 3|x|+2。 23.[选修 4-5:不等式选讲](10分) 已知 f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当 a=1时,求不等式 f(x)>1的解集; (2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x成立,求 a的取值范围. 解:(1)当 a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|=    ≥ <≤− −<− 1,2 11,2 1,2 x xx x ,所以不等式 f(x)>1的解集为(12,+∞); (2)∵x∈(0,1)时,f(x)=x+1-|ax-1|,f(x)>x⇔|ax-1|<1⇔-1<ax-1<1⇔0<ax<2, 当 a≤0时,上式不可能成立;当 a>0时,必须   ≤⋅< <⋅≤ 210 200 a a ⇒0<a≤2。 综上,a的取值范围为(0,2]。 注:本小题在得到 0<ax<2后,可直接解出 0<x<2a,然后依题意应有(0,1)⊆(0, 2 a),所以 a的取值 范围为(0,2]。
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