上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2018-07-04 18:56:05
新宁一中2019届高三入学考试理科数学试卷详解.pdf(272KB)
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0 0 类别 : 其他
1 新宁一中 2019届高三入学考试 理科数学试卷详解 一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数 z满足(2-i)z=-3+4i,则 z的共轭复数是 A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 解: iii i iz −−=−+−=+ −−= 2 5 )2)(43( 2 43 ,选B 2.已知全集为R,集合A={x|2x≥1},B={x|x2-3x+2<0},则A∩∁RB= A.{x|x≤0} B.{x|1<x<2} C.{x|0≤x≤1或 x≥2} D.{x|0≤x<1或 x>2} 解:∵A={x|x≥0},B={x|1<x<2},∴∁RB={|x≤1或 x≥2},故A∩∁RB={x|0≤x≤1或 x≥2}, 选C 3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”“0”“1”“8”,现从中随机选取三个 球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是 A.14 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 解:四球选三球只有 434 =C 种选法,而球上的数字要能成为等差数列,只 有“2”“0”“1”这 1种可能,因而选A 4.若双曲线 1 13 22 =−+− m y m x 的焦距为 4,则m等于 A.0 B.4 C.-12 D.0或 4 解:∵2c=4,∴c2=4,故(3-m)+(1-m)=4或(m-1)+(m-3)=4, 解得m=0或 4,选D 5.记 Sn为等差数列{an}的前 n项和,若 S9=45,a3+a8=12,则 a7等于 A.7 B.8 C.9 D.10 解:由 S9=45,知 a5=5,又 a5+a6=a3+a8=12,∴a6=7,从而 a7=9, 选C 6.执行如图所示的程序框图,则其输出的结果是 A.511 B.1023 C.1025 D.2047 解:程序框图其实就是多项式求值的秦九韶算法,a0=1,a1=a0×2+1,a2=a1×2+1,…,a10= a9×2+1,因而 a=a10=210+29+28+…+21+1=2047,选D 7.已知函数 f(x)为偶函数,当 x∈[-1,1]时,f(x)= 21 x− ,且 f(x+1)为奇函数,则 f(212 )= A.12 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2 解:由函数 f(x)为偶函数,知 f(-x)=f(x),从而 f(-x-1)=f(x+1), 又 f(x+1)为奇函数,所以 f(-x+1)=-f(x+1),于是 f(x)的周期为 T=4, 因此 f(212 )=f(- 3 2)=f( 3 2)=f(1+ 1 2)=-f(1- 1 2)=-f( 1 2)=- 3 2 ,选D 2 8.已知一个棱长为 2的正方体被两个平面所截得的 几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体 的体积是 A.83cm 3 B.4cm3 C.163 cm 3 D.203 cm 3 解:首先由三视图知几何体的直观图如右(正方体被截去了两个角): 因而V 几何体=23V 正方体= 16 3,选C 9.若 0<a<b<1,m=ab,n=ba,p=logba,则m,n,p这三个数的大小关系正确的是 A.m<n<p B.n<m<p C.p<m<n D.p<n<m 解:特值法,取 a=14,b= 1 2,则 p=2,m = 1 2,n= 2 8 2 1 4 4 = ,选A 10.函数 f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π)的部分图象如图所示,已知 x1,x2∈(π2,π),x1≠ x2,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)= A.-1 B.1 C.-2 D.2 解:由图知A=2,34T= 11π 12 - π 6= 3π 4,∴T=π,ω=2, 于是 f(x)=2sin(2x+ϕ), 再由 f(π6)=2及 0<ϕ<π,可得ϕ= π 6,因而 f(x)=2sin(2x+ π 6); 又根据 x1,x2∈(π2,π),x1≠x2,且 f(x1)=f(x2),知 2x1+ π 6+2x2+ π 6=3π, 所以 2x1+2x2+π6=3π- π 6,故 f(x1+x2)=2sin π 6=1,选B 11.若对于函数 f(x)=ln(x+1)+x2图象上任意一点处的切线 l1,在函数 g(x)=asinxcosx-x的图象 上总存在一条切线 l2,使得 l1⊥l2,则实数 a的取值范围为 A. ]1, 2 12[ − B. ] 2 21,1[ −− C. ),1[]1,( +∞−−∞ U D. ), 2 12[] 2 21,( +∞−−−∞ U 解:首先 f(x)图象上任意一点处的切线的斜率为 k1=2x+ 1x+1=2(x+1)+ 1 x+1-2∈[2 2-2,+∞), 所以 )0, 2 12[1 1 +−∈− k , 其次 g(x)=12asin2x-x⇒g′(x)=acos2x-1,因此 g(x)图象上某点处的切线斜率为 k2= acos2x-1, 依题意,对于任何 )0, 2 12[ +−∈t ,总存在 k2,使得 k2=t, 3 当 a=0时,不可能满足题意, 当 a>0时,需[-a-1,a-1]⊇ )0, 2 12[ +− ,解得 a≥1 当 a<0时,需[a-1,-a-1]⊇ )0, 2 12[ +− ,解得 a≤-1 综上,选C 12.如图,已知椭圆 C1: 1 4 2 2 =+ yx ,过抛物线 C2:x2=4y焦点 F的直线交抛物线于M、N两 点,连接 NO,MO并延长分别交 C1于 A、B两点,连接 AB,△OMN与△OAB的面积分别记 为 S△OMN,S△OAB,则在下列命题中,正确命题的个数是 ①若记直线NO,MO的斜率分别为 k1、k2,则 k1k2的大小是 定值为-14; ②△OAB的面积 S△OAB是定值 1; ③线段OA、OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值 5; ④设 OAB OMN S S ∆ ∆=λ ,则λ≥2。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2=-4, 1 44 2 2 2 1 21 =⋅= xxyy ,故 4 1 21 21 21 −== xx yykk ,①正确 (2)设A(2cosα,sinα),B(2cosβ,sinβ),于是-14=k1k2= sinα 2cosα⋅ sinβ 2cosβ⇒cos(α-β)=0, 因而 sin(α-β)=1,此时 S△OAB=12|xAyB-xByA|= 1 2|2cosαsinβ-2cosβsinα|=sin(α-β)=1,②正确 (3)|OA|2+|OB|2=4cos2α+sin2α+4cos2β+sin2β=2+3(cos2α+cos2β)=2+32(1+cos2α+1+cos2β) =5+32( cos2α+cos2β) =5+3cos(α+β)cos(α-β)=5,③正确; (4) 2|||| 2 |||||||| 2 1|||| 2 1 1 21 21 21 =≥+=⋅⋅+⋅⋅=+== ∆∆ ∆ ∆ xxxxxOFxOFSS S S OFNOFM OAB OMNλ ,④正确 选D 注:(1)对于抛物线 x2=2py,设过焦点 F(0,p2)的直线MN的方程为 y=kx+ p 2, 与抛物线 x2=4y联立,得 x2-2pkx-p2=0,由韦达定理知 x1x2=-p2; (2)设 ),(),,( 2211 yxOByxOA == , 则 222 )(|)||(| 2 1cos1|||| 2 1sin|||| 2 1 OBOAOBOAAOBOBOAAOBOBOAS OAB ⋅−=∠−=∠=∆ = || 2 1)())(( 2 1 1221 2 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyxyyxxyxyx −=+−++ 4 (3)对于④还有下面一种解法: ||| coscos coscos| |||| |||| sin|||| 2 1 sin|||| 2 1 BA NM BA NM OAB OMN xx xx xOB x xOA x xON x xOM x OBOA ONOM AOBOBOA MONONOM S S = ∠⋅∠ ∠⋅∠== ∠ ∠ == ∆ ∆λ 2 )cos( 2 )cos()cos( 2 coscos4 4 ≥+=−++== βαβαβαβα 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 13.已知向量m=(-1,2),n=(x,4),若m⊥n,则|2m+n|=________. 解:由m⊥n,知 x=8,于是 2m+n=(6,8),因此|2m+n|=10 14.已知 a为常数,且 ∫= 10 2xdxa ,则 6)( xax − 的二项展开式中的常数项为________. 解:∵ 1|2 102 1 0 === ∫ xxdxa ,∴ 6)( xax − 的二项展开式中的常数项为 15)1()( 2426 =− xxC 或者, 6)( x ax − 即 6)1( x x − 的二项展开式中的通项为 rrrrrrr xCxxCT 2 33 6 6 61 )1() 1()( −− + −=−= , 令 3-32r=0,得 r=2,因而,所求的常数项为 15 2 63 == CT 15.已知x,y满足约束条件    ≥++ ≤ ≥+− 0 1 02 kyx x yx ,且z=x+3y的最大值是最小值的-2倍,则k=________. 解:作出可行域,易知 z=x+3y的最大值在点(1,3)处取到,最小值在点(1,-1-k)处取到, 所以 zmax=10,zmin=-3k-2,依题意 10=-2(-3k-2),故 k=1 16.已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1-3(-1)n(n≥2)。设 tk a 是等差数列,数列{kt}(t∈N*)是 各项均为正整数的递增数列,若 k1=1,则 k3-k2=________. 解:∵an=2an-1-3(-1)n(n≥2),∴an+(-1)n=2(an-1+(-1)n-1)(n≥2), 故 an+(-1)n=(a1+(-1)1)2n-1=2n,因而 an=2n-(-1)n; 于是 311 == aak , 222 )1(2 kkka −−= , 3)1(2 33 kkka −−= ,依题意, 3122 kkk aaa += , 即 3322 )1(23)1(22 1 kkkk −−+=−⋅−+ (其中 k2,k3均为整数,且 k3>k2>1)。 当 k2,k3均为奇数时, 12322 32 1 ++=++ kk ,即 132 212 −=− kk (其中 k3-1>k2),这不可能; 当 k2,k3均为偶数时, 12322 32 1 −+=−+ kk ,即 132 222 −=− kk (其中 k3-1>k2),这不可能; 当 k2为奇数,k3为偶数时, 12322 32 1 −+=++ kk ,即 32 22 1 kk =+ ,所以 k2+1=k3,因而 k3-k2=1; 当 k2为偶数,k3为奇数时, 12322 32 1 ++=−+ kk ,即 132 232 −=− kk (其中 k3-1>k2),这不可能; 综上,k3-k2=1 5 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12分) 设函数 f(x)=sinx( 3cosx+sinx)-12。 (1)求函数 f(x)的递增区间; (2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若 f(B)=1,b=2,且 b(2-cosA)= a(cosB+1),求△ABC的面积。 解:(1) f(x)=sinx( 3cosx+sinx)-12= 3 2 sin2x+sin 2x-12= 3 2 sin2x- 1 2cos2x=sin(2x- π 6), 令 2kπ-π2≤2x- π 6≤2kπ+ π 2(k∈Z),得 f(x)的增区间为[kπ- π 6,kπ+ π 3](k∈Z); (2)首先由 f(B)=1,得B=60°, 其次 b(2-cosA)=a(cosB+1)⇒2sinB-sinBcosA=sinAcosB+sinA, 因而 2sinB=sinC+sinA,即 2b=a+c, 再由余弦定理可得, ac acbca ac bca 2 2)( 22 1 22222 −−+=−+= , 注意到 b=2,a+c=2=4,所以 ac=4,故 S△ABC=12acsinB= 3 18.(本小题满分 12分) 某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活 动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前 7天参加抽 奖活动的人数进行统计,y表示第 x天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下: x 1 2 3 4 5 6 7 y 5 8 8 10 14 15 17 (1)经过进一步统计分析,发现 y与 x具有线性相关关系。请根据上表提供的数据,用最小二 乘法求出 y关于 x的线性回归方程 axby ˆˆˆ += ; (2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取 600元购物券;抽中“二等奖”可领取 300元购 物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券。已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16,获得“二 等奖”的概率为13。现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所 获购物券总金额X的分布列及数学期望。 参考公式: ∑ ∑ = = − − = n i i n i ii xnx yxnyx b 1 22 1ˆ , xbya ˆˆ −= ,∑ = = 7 1 364 i ii yx 。 解:(1)∵ 11,4 == yx , 36411990704024165 7 1 =++++++=∑ =i ii yx , 140 7 1 2 =∑ =i ix , 6 ∴ 2 167140 1147364ˆ =×− ××−=b , 34211ˆ =×−=a ,因此, 32ˆ += xy ; (2)因为X=0,300,600,900,1200,并且 P(X=0)=12× 1 2= 1 4,P(X=300)= 1 2× 1 3+ 1 2× 1 3= 1 3, P(X=600)=12× 1 6+ 1 2× 1 6+ 1 3× 1 3= 5 18,P(X=900)= 1 3× 1 6+ 1 3× 1 6= 1 9,P(X=1200)= 1 6× 1 6= 1 36, 所以X的分布列为: X 0 300 600 900 1200 P 14 1 3 5 18 1 9 1 36 因此,E(X)=100+5003 +100+ 100 3 =400 19.(本小题满分 12分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=2,∠ABC=60°,平面 ACEF⊥平面 ABCD,四边形ACEF是菱形,∠CAF=60°。 (1)求证:BF⊥AE; (2)求二面角B-EF-D的平面角的正切值。 证:(1)在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=2,∠ABC=60°, ∴AB=4,AC=2 3,AC⊥BC, 再在菱形ACEF中,取AC的中点为H,则由∠CAF=60°,知 FH⊥AC, 而平面ACEF⊥平面ABCD,所以 FH⊥平面ABCD,于是 FH⊥BC, ∴BC⊥平面AEF,因而BC⊥AE, 又菱形ACEF中,AE⊥FC,所以AE⊥平面BCF,因此AE⊥BF; 解:(2)取 EF的中点K,连CK,则CK∥FH,因而CK⊥平面ABCD, 故分别以CA、CB、CK为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则C(0,0,0),B(0,2,0),D( 3,-1,0),E(- 3,0,3),F( 3,0,3), 因此 )3,1,0(=DF , )0,0,32(=EF , )3,2,3( −−=BE 若设平面DEF的法向量为 ),,(1 zyxn =r ,则由   ⊥ ⊥ EFn DFn 1 1 r r ,得   = =+ 032 03 x zy ,可取 )1,3,0(1 −=nr , 再设平面BEF的法向量为 ),,(2 cban =r ,则由   ⊥ ⊥ EFn BEn 2 2 r r ,得    = =+−− 032 0323 a zyx ,取 )2,3,0(2 =nr , 于是 130 7 |||| ,cos 21 21 21 −=⋅>=< nn nnnn rr rrrr ⇒ 130 9,sin 21 >=< nn rr , 注意到二面角B-EF-D是锐二面角,故它的正切值为97。 注:(2)还有下面的解法: 由于 0=⋅ EFDF ,所以DF⊥EF,又K(0,0,3),所以 )3,2,0( −=BK ,也有 0=⋅ EFBK , 7 于是向量FD与KB的夹角大小就是所求二面角的大小, 由于 130 7 1310 920,cos =⋅ +−>=< KBFD ⇒ 130 9,sin >=< KBFD , 所以二面角B-EF-D的平面角的正切值为97。 20.(本小题满分 12分) 已知椭圆 E: 12 2 2 2 =+ b y a x (a>b>0)上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的 3倍,且 点 P(1,32)在椭圆 E上。 (1)求椭圆 E的方程; (2)过点M(1,1)任作一条直线 l,l与椭圆 E交于不同于 P点的 A、B两点,l与直线 m:3x +4y-12=0交于 C点,记直线 PA、PB、PC的斜率分别为 k1、k2、k3。试探究 k1+k2与 k3的关 系,并证明你的结论。 解:(1)首先 a+c=3(a-c)⇒a=2c⇒a2=4c2,b2=3c2, 又点 P(1,32)在椭圆 E上,所以 14 91 22 =+ ba ,即 14 3 4 1 22 =+ cc , 因此 c2=1,a2=4,b2=3,故椭圆 E的方程为 1 34 22 =+ yx ; (2)若直线 l的斜率不存在,则 l:x=1,于是A(1,32),B(1,- 3 2),C(1, 9 4), 此时 k1,k2,k3均不存在,与题意不符。 因此,可设 l:y-1=k(x-1),即 y=kx-k+1,与 3x2+4y2-12=0联立, 得(4k2+3)x2-8(k2-k)x+4k2-8k-8=0, 若设A(x1,y1),B(x2,y2),则 34 88 2 2 21 + −=+ k kkxx , 34 884 2 2 21 + −−= k kkxx , 于是 5 36) 1 1 1 1( 2 12 1 2 3 1 2 3 212 2 1 1 21 −==−+−−=− − +− − =+ k xx k x y x y kk L , 再由 y=kx-k+1及 3x+4y-12=0得C(4k+84k+3, 9k+3 4k+3),于是 10 36 1 34 84 2 3 34 39 3 −= −+ + −+ + = k k k k k k , 因此 k1+k2与 k3的关系为 k1+k2=2k3。 21.(本小题满分 12分) 已知函数 )(ln)( xx x eaxf x −+= (其中 a∈R且 a为常数,e为自然对数的底数,e=2.71828…) (1)若函数 f(x)的极值点只有一个,求实数 a的取值范围; (2)当 a=0时,若 f(x)≤kx+m(其中m>0)恒成立,求(k+1)m的最小值 h(m)的最大值。 解:(1)依题意, 0)1(11)( 22 =−⋅−=−+−⋅⋅=′ x xeax xx exeaxf xxx 在(0,+∞)内只有一个根, 8 所以 a⋅ex-x=0即 xe xa = 要么无根,要么只有一个根 x=1(a=1e时), 记 xe xxg =)( ,则 101 )( 1)( 2 =⇒=−=⋅−⋅=′ xe x e exexg xx xx , 当 x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,当 x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数; 因此 g(x)有极大值 g(1)=1e,又 x→0时,g(x)→0,x→+∞时,g(x)→0,故 g(x)∈(0, 1 e), 所以,当 a≤0或 a>1e时,方程 a⋅ex-x=0无解, 当 a=1e时,方程 a⋅ex-x=0有一个解 x=1, 当 a∈(0,1e)时,方程 a⋅ex-x=0有两个不是 1的解, 故当函数 f(x)只有一个极值点时,实数 a的取值范围为 ),1[]0,( +∞−∞ e U ; (2)依题意,lnx-x-kx≤m对 x∈(0,+∞)恒成立, 记 l(x)= lnx-x-kx(x>0),则 l′(x)=1x-1-k=0⇒x= 1 k+1, 当 1k+1<0时,l′(x)>0对 x∈(0,+∞)恒成立,l(x)是R+上的增函数,m∈∅; 当 1k+1>0时,l′(x)>0在(0, 1 k+1)恒成立,l′(x)<0在( 1 k+1,+∞)上恒成立, 因此,l(x)有极大值 l( 1k+1),所以m≥l( 1 k+1)=-ln(k+1)-1,故 k+1≥ 1−−me , 又m>0,所以(k+1)m≥m⋅ 1−−me , 这说明(k+1)m的最小值为 h(m)=m⋅ 1−−me (以下需要求 h(m)的最大值), 事实上,h′(m)=1⋅ 1−−me +m⋅ 1−−me ⋅(-1)= 1−−me (1-m)=0⇒m=1, 并且,m<1时,h′(m)>0,h(m)递增,m>1时,h′(m)<0,h(m)递减, 故 h(m)的最大值为 h(1)= 2 1 e 。 请考生在第(22)~(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1的参数方程为  −= += 44 32 ty tx (t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为 θρ sin1 2 −= 。 (1)求曲线C2的直角坐标方程; (2)设M1为曲线C1上的点,M2为曲线C2上的点,求|M1M2|的最小值。 9 解:(1)∵ θρ sin1 2 −= ,∴ 2 22 +=+ yyx ,故 x2=4(y+1),此即C2的直角坐标方程; (2)由   −= += 44 32 ty tx (t为参数),得C1的普通方程为 2x-y-10=0, 方法一:令 2=k 切=y′=x2,得切点为(4,3),所以|M1M2|min=d= |8-3-10| 5 = 5; 方法二:设M2(x, 1 4 2 −x ),则|M1M2|≥d= 54 |368| 5 |101 4 2| 2 2 +−= −+− xx xx ≥ 5 54 20 = 。 23.(本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-1|-|x+2|。 (1)若不等式 f(x)≥|m-1|有解,求实数m的最大值M; (2)在(1)的条件下,若正实数 a,b满足 3a2+b2=M,证明:3a+b≤4。 解:(1)∵f(x)=|x-1|-|x+2|=    ≥− <≤−−− −< 1,3 12,12 2,3 x xx x ,∴f(x)∈[-3,3], 由不等式 f(x)≥|m-1|有解,知|m-1|≤3,因而-2≤m≤4,故M=4; (2)由(1)知问题其实就是“已知 3a2+b2=4,求 z=3a+b的最大值” 方法一:设 3a=2cosα,b=2sinα,则 z=2 3cosα+2sinα≤ 12+4=4; 方法二:∵(3a2+b2)(3+1)≥(3a+b)2,∴3a+b≤4; 方法三:∵z2=(3a+b)2=9a2+b2+6ab≤9a2+b2+3(a2+b2)=12a2+4b2=16,∴z=3a+b≤4; 方法四:由椭圆 3a2+b2=4与直线 z=3a+b有公共点,得判别式△≥0(以下略); 方法五:由椭圆 3a2+b2=4与直线 z=3a+b相切,得判别式△=0也可以求得 z的最大值(略)。
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