上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2018-07-09 20:07:12
2018年高考全国2卷理科数学试题参考答案.pdf(257KB)
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1 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1. 1+2i 1-2i= A.- 4 5- 3 5i B.- 4 5+ 3 5i C.- 3 5- 4 5i D.- 3 5+ 4 5i 解:1+2i1-2i= (1+2i)(1+2i) (1-2i)(1+2i)= -3+4i 5 ,选 D 2.已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则 A中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4 解:∵x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z,∴x,y∈{-1,0,1},因此{x,y}共有 9种数对,选 A 3.函数 2( ) x xe ef x x −−= 的图像大致为 解:首先排除偶函数,其次 f(1)>0,最后 x→+∞时,f(x)→+∞,选 B 4.已知向量 a,b满足|a|=1,a⋅b=-1,则 a⋅(2a-b)= A.4 B.3 C.2 D.0 解:a⋅(2a-b)=2a2-2a⋅b=2-(-1)=3,选 B 5.双曲线 2 2 2 2 1 x y a b − = (a>0,b>0)的离心率为 3,则其渐近 线方程为 A. 2y x= ± B. 3y x= ± C. 2 2 y x= ± D. 3 2 y x= ± 解:ca= 3⇒ 32 2 = a c ⇒ 32 22 =+ a ba ⇒ 22 2 = a b ⇒ba= 2,选 A 6.在△BAC中,cosC2= 5 5 ,BC=1,AC=5,则 AB= A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 解:首先 cosC=2cos2C2-1=- 3 5,其次由余弦定理得 AB 2=AC2+BC2-2AC⋅BCcosC=32, 选 A 7.为计算 1 1 1 1 11 2 3 4 99 100 S = − + − + ⋅⋅⋅+ − ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4 解:因为每一次循环计算了两项,所以选 B 开始 0, 0N T= = S N T= − S输出 1i = 100i < 1N N i = + 1 1 T T i = + + 结束 是 否 2 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是“每个 大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”,如 30=7+23。在不超过 30 的素数中,随机选取 两个不同的数,其和等于 30的概率是 A. 1 12 B. 1 14 C. 1 15 D. 1 18 解:不超过 30的素数只有 10个,从中选两个共有 45种选法,而和为 30的选法只有 3种(具 体就是 7+23,11+19,13+17),选 C 9.在长方形 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1= 3,则异面直线 AD1与 DB1所成角 的余弦值为 A.15 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 解:建立空间直角坐标系,用向量法易得选项为 C 10.若 f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数,则 a的最大值是 A. π 4 B. π 2 C. 3π 4 D.π 解:∵f(x)=cosx-sinx= 2cos(x+π4)在[-a,a]是减函数,∴a的最大值是 π 4,选 A 11.已知 f(x)是定义为(-∞,+∞)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x)。若 f(1)=2,则 f(1)+f(2) +…+f(50)= A.-50 B.0 C.2 D.50 解:因为 f(x)是定义为(-∞,+∞)的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 f(-1-x)=-f(1+x), 又 f(1-x)=f(1+x),所以 f(-1-x)=-f(1-x),即 f(t)=-f(2+t),故 f(x)的周期为 T=4, 而 f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, 故 f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2,选 C 12.已知 F1、F2是椭圆 C: 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 的左、右焦点,A是 C的左顶点,点 P在过 A且斜率为 36 的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则 C的离心率为 A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 解:首先画出示意图(略),然后根据△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°, 知 PF2=2c,∠PF2x=60°,因而点 P的坐标为(2c, 3c),又点 A的坐标为(-a,0), 因此, 36 = 3c 2c+a⇒4c=a,选 D 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分 13.曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________. 解:因为 k 切=y′|x=0= 2x+1|x=0=2,所以切线方程为 y-0=2(x-0),即 y=2x 14.若 x,y满足约束条件 2 5 0 2 3 0 5 0 x y x y x + − ≥ − + ≥ − ≤ ,则 z=x+y的最大值为________. 解:画出可行域,即知 z=x+y的最大值在(x,y)=(5,4)时取到,所以 z的最大值为 9 15.已知 sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则 sin(α+β)=________. 解:已知条件平方和,即得 sin(α+β)=-12 3 16.已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为 45°, 若△SAB的面积为5 15,则圆锥的侧面积为________. 解:因为 SA与圆锥底面所成角为 45°,所以圆锥的高等于底面半径,即 r=h= 2l2 (l为母线), 又 cos∠ASB=78,所以 5 15= 1 2l 2sin∠ASB⇒l=4 5,故圆锥的侧面积为πrl=40 2π 三、解答题:共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题, 每个试题考生都必须作答,第 22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60分。 17.(12分)记 Sn为等差数列{an}的前 n项和,已知 a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式; (2)求 Sn并求 Sn的最小值。 解:(1)∵等差数列{an}中 S3=-15,∴a2=-5,又 a1=-7,∴d=2,于是 an=2n-9; (2)由于 nnnaaS nn 82 21 −=⋅+= ,所以当 n=4时,Sn最小,且最小值为-16 18.(12分)下图是某地区 2000年至 2016年环境基础设施投资额 y(单位:亿元)的折现图。 为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量 t的两个线性回归 模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,…,17)建立模型①: ˆ 30.4 13.5y t= − + ;根据 2010年至 2016年的数据(时间变量 t的值依次为 1,2,…,7)建立模 型②: ˆ 99 17.5y t= + . (1)分别利用这两个模型,求该地区 2018年的环境基础设施投资的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。 解:(1)利用模型①y=-30.4+13.5×19=226.1,利用模型②y=99+17.5×9=256.5 (2)用模型②得到的预测值更可靠。 因为 2000年至 2016年的数据并不在一条直线的附近,而 2010年至 2016年的数据在某一条直线 的附近。 19.(12分)设抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,过 F点且斜率 k(k>0)的直线 l与 C交于 A,B两 点,|AB|=8. (1)求 l的直线方程; (2)求过点 A,B且与 C的准线相切的圆的方程. 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份 20 0 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 投资额 14 19 25 35 37 42 42 47 53 56 122 129 148 171 184 209 220 4 解:(1)因为焦点 F的坐标为(1,0),若直线 l的斜率不存在,则|AB|=4不合题意,故可设直 线 l 的方程为 y= k(x- 1),与 y2= 4x 联立,得 k2x2- (2k2+ 4)x+ k2= 0,于是 22 2 21 4242 kk kxx +=+=+ ,又 8=|AB|=p+x1+x2,所以 k=1 或 k=-1(舍),因此 l 的方程 为 y=x-1; (2)由(1)知 AB的中点坐标为(3,2),AB的中垂线方程为 y=5-x, 所以可设圆心的坐标为(a,5-a), 又由 y=x-1及 y2=4x得 A(3+2 2,2+2 2),B(3-2 2,2-2 2), 依题意|DA|=|DB|=|a+1|,即(a-3+2 2)2+(3-2 2-a)2=(a+1)2,解得 a=3或 11, 因而所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144 20.(12分)如图,在三角锥 P-ABC中,AB=BC=2 2,PA=PB=PC=AC=4,O为 AC的 中点. (1)证明:PO⊥平面 ABC; (2)若点M在棱 BC上,且二面角M-PA-C为 30°,求 PC与平面 PAM所成角的正弦值. 证:(1)在△ABC中,由 AB=BC=2 2,AC=4,知∠ABC=90°, 又 O为 AC的中点,所以 OB=OA=OC=2, 再在△PAC中,PA=PC=AC=4,且 O为 AC的中点,因而 PO⊥AC,且 PO=2 3, 而 PB=4,故∠POB=90°,即 PO⊥OB, 于是 PO⊥平面 ABC; (2)以 OB、OC、OP为 x、y、z轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3), 且 )0,0,2(=OB 就是平面 PAC的法向量, 若设M(a,b,0),则由 B、M、C三点共线知 b=2-a, 再设平面MPA的法向量为 ),,( zyxn =r , 则由 AMn ⊥r , APn ⊥r 得 ax+(b+2)y=0且 2y+2 3z=0, 取 z=1,则 y=- 3,x=(b+2) 3a ,即 )1,3, 3)2(( −+= a bnr , 而二面角M-PA-C的大小为 30°, 所以 2 2)2(3312 |3)2(2| |,cos| 2 3 a b a b OBn +++⋅ + =><= r ,即 22 )2(34 3)2( 2 3 ++ += ba b , 解得 a=43或-4(舍),因而 b= 2 3,于是M( 4 3, 2 3,0), )1,3,32( −=n r , 若设 PC与平面 PAM所成角为α,则 sinα=|cos< PC , nr >|=|-4 316 = 3 4 | 21.(12分)已知函数 ( ) 2xf x e ax= − (1)若 a=1,证明:当 x≥0时,f(x)≥1; (2)若 f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求 a. 证:(1)当 a=1时,f(x)=ex-x2,f′(x)=ex-2x,所以 f′′(x)=ex-2=0⇒x=ln2, 并且 0≤x<ln2时,f′′(x)<0,x>ln2时,f′′(x)>0, 因此 f′ (x)≥f′(ln2)=eln2-2ln2=2-2ln2>0, 故 f(x)是[0,+∞)上的增函数,因而 f(x)≥f(0)=1; 5 解:(2) f(x)在(0,+∞)只有一个零点,即 2x ea x = 在(0,+∞)只有一个零点, 记 2)( x exg x = ,则 20)2()( 3 =⇒=−=′ xx xexg x , 并且 x∈(0,2)时,g′(x)<0,x∈(2,+∞)时,g′(x)>0, 故 g(x)≥g(2)= 4 2e ,又 x→0是 g(x)→+∞,x→+∞时,g(x)→+∞, 于是 g(x)的值域为 ), 4 [ 2 +∞e ,因此,要想 2x ea x = 在(0,+∞)只有一个零点,必须 4 2ea = (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分。 22.[选修 4-4,坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2cos 4sin x y θ θ = = (θ为参数),直线 l 的参数方程为 1 cos 2 sin x t y t α α = + = + ( t为参数) (1)求 C和 l的直角坐标方程; (2)若曲线 C截直线 l所得线段的中点坐标为(1,2),求 l的斜率. 解:(1)由 2cos 4sin x y θ θ = = 消θ得 C的直角坐标方程为 1 164 22 =+ yx ,又 1 cos 2 sin x t y t α α = + = + ,所以当 cosα =0时,l的方程为 x=1,当 cosα≠0时,l的方程为 y=tanα(x-1)+2; (2)方法一:由 y=kx-k+2及 4x2+y2-16=0得(4+k2)x2-(2k2-4k)x+k2-4k-12=0, 所以由韦达定理及中点公式有 2 4 42 2 2 =+ − k kk ⇒k=-2; 方法二:将 x=1+tcosα及 y=2+tsinα代入 4x2+y2-16=0得(3cos2α+1)t2+(8cosα+4sinα)t -8=0,依题意,t1+t2=0,由韦达定理得 8cosα+4sinα=0,因而 tanα=-2; 方法三(点差法):设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 164 2 1 2 1 =+ yx , 1 164 2 2 2 2 =+ yx , 两式相减,得 0 164 2 1 2 2 2 1 2 2 =−+− yyxx ,即 0 16 ))(( 4 ))(( 12121212 =−++−+ yyyyxxxx , 注意到 x1+x2=2,y1+y2=4,所以 2 12 12 −=− − xx yy 23.[选修 4—5:不等式选讲](10分) 设函数 f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当 a=1时,求不等式 f(x)≥0的解集; (2)若 f(x)≤1,求 a的取值范围. 解:(1)当 a=1时,f(x)=5-|x+a|-|x-2|=5-|x+1|-|x-2|≥0,即|x+1|+|x-2|≤5, 因此,-2≤x≤3; (2) f(x)≤1,即|x+a|-|x-2|≥4,因而|a+2|≥4,故 a∈(-∞,-6]∪[2,+∞) 注:(2)其实是一个恒成立问题。
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