上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
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2017年高考全国2卷理科数学试题参考答案.pdf(286KB)
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1 2017年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ) 理科数学参考答案 一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.3+i1+i=( ) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 解:3+i1+i= (3+i)(1-i) (1+i)(1-i)=2-i,选D 2.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 解:由 1∈B知m=3,所以B={1,3},选C 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,灯光点点倍加增,共灯三百 八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7层塔共挂了 381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是 上一层灯数的 2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 解: 312 )12(381 1 7 1 =⇒− −= aa ,选B 4.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( ) A.90π B.63π C.42π D.36π 解:经割补可知,几何体的体积等于底面半径为 3,高为 7的圆 柱的体积,因而V=63π,选B 5.设 x,y满足约束条件 2 3 3 0 2 3 3 0 3 0 x y x y y + − ≤ − + ≥ + ≥ ,则 z=2x+y的最小值是 A.-15 B.-9 C.1 D.9 解:作出可行域如图,当动直线 l:y=-2x+z经过点(-6,-3) 时,z最小,且 z的最小值为-15,选A 6.安排 3名志愿者完成 4项工作,每人至少完成 1项,每项工作由 1人完成,则不同的安排方式 共有( ) A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 解:依题意,必有 1人完成某 2份工作,因而安排方式共有 363324 =AC 种,选D 7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有 2位优秀, 2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) 2 A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解:甲不知道自己的成绩⇒乙与丙 1优 1良,且甲与丁也 1优 1良,乙看了丙的成绩后知道自己 的成绩,丁看了甲的成绩后也会知道自己的成绩,所以选D 8.执行右面的程序框图,如果输入的 a=-1,则输出的 S=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解:a=-1,S=0,k=1≤6⇒S=-1,a=1,k=2≤6⇒S=1,a=-1,k=3≤6⇒S =-2,a=1,k=4≤6⇒S=2,a=-1,k=5≤6⇒S=-3,a=1,k=6≤6⇒S =3,a=-1,k=7>6⇒输出 S=3,选B 9.若双曲线C: 2 2 2 2 1 x y a b− = (a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2) 2+y2=4所截得的 弦长为 2,则C的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.2 33 解:因为圆的半径为 2,半弦长为 1,所以圆心(2,0)到渐近线 bx-ay=0 的距离为 3,因此, 2114 323 22 2 =⇒−==⇒= eec b c b ,选A 10.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( ) A. 32 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 解:取AB中点M,BB1中点N,B1C1上点 P,A1B1中点Q,连MN,NP,PM,MQ,PQ, 则 MN= 52 ,NP= 2 2 ,PQ= 1 2AC= 7 2 ,MP= 11 2 ,因而在△MNP 中,由余弦定理,可得 5 10 2cos 222 −=⋅⋅ −+=∠ NPMN MPNPMNMNP ,选C 11.若 x=-2是函数 2 1`( ) ( 1) xf x x ax e −= + − 的极值点,则 f(x)的极小值为( ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1 解:因为 0=f′(-2)=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1|x=-2⇒a=-1, 所以 f(x)=(x2-x-1)ex-1,f′(x)=(x2+x-2)ex-1, 由 f′(x)=0得 x=1与-2,易知 f(x)的极小值为 f(1)=-1,选A 12.已知△ABC是边长为 2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 )( PCPBPA +⋅ 的最小值是 A.-2 B.-32 C.- 4 3 D.-1 解:建系设点,进行坐标运算(略),选B 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B A D D B A C A B 3 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 13.一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100次,X表示抽 到的二等品件数,则D(X)= . 解:因为X~B(100,0.02),所以D(X)=np(1-p)=1.96 14.函数 f(x)=sin2x+ 3cosx-34(x∈[0, π 2])的最大值是 . 解:因为 f(x)=-cos2x+ 3cosx+14∈[ 1 4,1],所以 f(x)的最大值为 1,其中 cosx∈[0,1] 15.等差数列{an}的前 n项和为 Sn,a3=3,S4=10,则∑ = n k kS1 1 = . 解:a3=3,S4=10⇒a2=2,d=1⇒an=n, 2 )1( += nnSn ,于是 1 2)1 11(21 1 +=+−=∑= n n nS n k k 16.已知 F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延 长线交 y轴于点N。若M为 FN的中点,则|FN|= . 解:因为 F(2,0),准线 l:x=-2,如图作直角梯形AFNC, 则MN=MF=MB=12(AF+CN)=3,故NF=6 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算 步骤。第 17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第 22、 23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60分。 17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2B2. (1)求 cosB; (2)若 a+c=6,△ABC面积为 2,求 b。 解:(1)依题意,sinB=4(1-cosB)⇒16(1-2cosB+cos2B)=1-cos2B⇒cosB=1517或 cosB=1(舍) (2)由(1)知 sinB= 817,于是 2=S△ABC= 1 2acsinB⇒2ac=17,又 a+c=6, 所以由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-15=4⇒b=2 18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取 100 个 网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下: (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于 50kg,新养殖法 的箱产量不低于 50kg,估计A的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; 4 (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到 0.01)。 附: ))()()(( )( 22 dbcadcba bcadnK ++++ −= 解:(1)因为 P(旧法低于 50kg)=(0.040+0.034+0.014+0.012)×5=0.62, P(新法不低于 50kg)=(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66, 所以 P(A)=0.62×0.66=0.4092; (2)列联表如下: 635.6705.1510496100100 )34386662(200 22 >=××× ×−×=K , 由于 P(K2≥6.635)=0.010,所以有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关; (3)∵(0.004+0.020+0.044)×5=0.34,0.068×5=0.34,而0.5-0.340.34 = 8 17, ∴中位数为 50+5× 817≈52.25 19.(12分)如图,四棱锥 P-ABCD中,侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面三角形BCD,AB= BC=12AD, B∠ AD= ABC∠ =90°,E是 PD的中点。 (1)证明:直线CE∥平面 PAB; (2)点M在棱 PC上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为 45°,求二面角M-AB-D的余弦值。 证:(1)取 P中点 F,连 EF,BF,则 EF=12AD=BC且 EF∥AD∥BC,∴BCEF为平行四边形, 故CE∥BF,而BF⊂面 PAB,CE⊄面 PAB,所以CE∥平面 PAB; 解:(2)取AD中点O,以OC为 x轴、OD为 y轴、OP为 z轴建立空间直角坐标系, 设AB=BC=1,则AO=OD=1,OP= 3,∠PCO=60°,可设M(1-a,0, 3a) 于是A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0, 3) 注意到直线BM与平面ABCD所成的锐角为 45°,知|BM|= 6a, 故 a2+1+3a2=6a2,解得 a= 22 ,∴M( 2- 2 2 ,0, 6 2 ) 于是 )0,0,1(=AB , )2 6,1,2 2(−=BM , 再设平面ABM的法向量为 ),,( zyxa =r , 则由 ABa ⊥r 及 BMa ⊥r ,得 x=0,y=- 62 z,取 )2,6,0( −=a r , P(K2≥k) 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 P(K2≥k) 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 5 又平面ABCD的法向量为 )1,0,0(=br ,∴ 5 10 10 2 ||||,cos == ⋅>=< ba baba rr rrrr 因此二面角M-AB-D的余弦值为 105 20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C: 2 2 12 x y+ = 上,过M做 x轴的垂线,垂足为N, 点 P满足 NMNP 2= 。 (1)求点 P的轨迹方程; (2)点Q在直线 x=-3上,且 1=⋅PQOP 。证明:过点 P且垂直于OQ的直线 l过C的左焦点 F。 解:(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则N(x,0),x0=x,而 NMNP 2= ,∴y= 2y0⇒y0= 22 y, 将点M(x0,y0)的坐标代入已知曲线C,得点 P的轨迹方程为 x2+y2=2; 证:(2)设Q(-3,t),则 kOQ=-t3,kl= 3 t, 再设 P( 2cosα, 2sinα),则 l的方程为 y- 2sinα=3t(x- 2cosα), 又 2cos23sin2)sin2,cos23()sin2,cos2(1 −−=−−−⋅=⋅= αααααα ttPQOP , ∴ αα cos233sin2 +=t , 于是 l的方程为 y-3-3 2cosα=3x-3 2cosα,即 y=3(x+1), 此时直线 l明显经过曲线C的左焦点 F(-1,0)。 21.(12分)已知函数 f(x)=ax2-ax-xlnx,且 f(x)≥0。 (1)求 a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 e-2<f(x0)<2-2。 解:(1)∵x>0,∴f(x)≥0等价于 ax-a-lnx≥0,记 g(x)=ax-a-lnx,则 g′(x)=a-1x, 显然,a≤0时,g(x)为减函数,g(x)≥0不可能恒成立,因此 a>0, 并且 g(x)在(0,1a)上为减函数,在( 1 a,+∞)上为增函数, 故 g(x)有极小值 g(1a)=1-a+lna=0⇒a=1; 证:(2)由(1)知 f(x)=x2-x-xlnx,f′(x)=2x-2-lnx,记 h(x)=2x-2-lnx,则 h′(x)=2-1x, 于是 h(x)在(0,12)上为减函数,在( 1 2,+∞)上为增函数, 而 x→0时,h(x)→+∞,h(12)=ln2-1<0,h(1)=0, 所以 h(x)在(0,12)上存在唯一的零点 x0,即 h(x0)=0,也即 2x0-2=lnx0, 与此同时,f(x)在(0,x0)以及(1,+∞)上均为增函数,而在(x0,1)上为减函数, 于是 f(x)有唯一的极大值点 x0与唯一的极小值点 1, 故 f(x)的极大值为 f(x0)=x02-x0-x0lnx0=x0-x02=x0(1-x0)<14(这里均值不等式等号不成立), 又由 2x0-2=lnx0,知 x0≠1e,因而总有 f(x0)>f( 1 e)=e -2, 综上,e-2<f(x0)<2-2。 6 (二)选考题:共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐 标方程为 cos 4ρ θ = . (1)M为曲线C1上的动点,点 P在线段OM上,且满足|OM|⋅|OP|=16,求点 P的轨迹C2的直角坐 标方程; (2)设点A的极坐标为(2,π3),点B在曲线C2上,求 OAB△ 面积的最大值。 解:(1)∵点M为曲线C1: cos 4ρ θ = 上的动点,且点 P在线段OM上, ∴可设 P(ρ,θ),M(ρ0,θ),从而ρ0cosθ=4,又已知|OM|⋅|OP|=16,即ρ0ρ=16, ∴消去ρ0得ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,也就是 x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4; 解法二:设M(4,t),P(x,y),则yx= t 4(其中 x>0),且(16+t 2)(x2+y2)=162, 消去 t,得 x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4(x>0); (2)由于|OA|=2,所以为了使△AOB的面积最大,只需点B到直线OA的距离最大, 事实上,圆心C2(2,0)到直线OA:y= 3x的距离为 3,故点B到OA的最大距离为 2+ 3, 因此△AOB面积的最大值为 2+ 3。 23.[选修 4-5:不等式选讲](10分) 已知 a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2。 证:(1)由柯西不等式,得(a+b)(a5+b5)≥[ 55 bbaa ⋅+⋅ ]2=4; (2)由均有值不等式,得 a3+1+1≥3a,b3+1+1≥3b,∴a+b≤2。
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