上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2018-09-12 08:59:15
2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(A卷).pdf(206KB)
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2018年全国高中数学联合竞赛一试(A卷) 参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8分和 0分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第 9小题 4分为一个档次,第 10、 11小题 5分为一个档次,不得增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,满分 64分. 1. 设集合      1, 2, 3, , 99 , 2 , 2A B x x A C x x A     ,则 B C 的元 素个数为 . 答案:24. 解:由条件知,    1 3 992, 4, 6, ,198 ,1, , 2, , 2, 4, 6, , 48 2 2 2 B C               , 故 B C 的元素个数为 24. 2. 设点 P到平面的距离为 3,点Q在平面上,使得直线 PQ与所成 角不小于30且不大于60,则这样的点Q所构成的区域的面积为 . 答案:8. 解:设点 P在平面上的射影为O.由条件知, 3tan , 3 3 OP OQP OQ           , 即 [1, 3]OQ ,故所求的区域面积为 2 23 1 8      . 3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6随机排成一行,记为 , , , , ,a b c d e f ,则 abc def+ 是偶数的 概率为 . 答案: 9 10 . 解:先考虑abc def+ 为奇数的情况,此时 ,abc def 一奇一偶,若abc为奇数, 则 , ,a b c为1, 3, 5的排列,进而 , ,d e f 为2, 4, 6的排列,这样有3! 3! 36× = 种情况, 由对称性可知,使abc def+ 为奇数的情况数为36 2 72× = 种.从而abc def+ 为偶 数的概率为 72 72 9 1 1 6! 720 10 − = − = . 4. 在平面直角坐标系 xOy中,椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     的左、右焦点 分别是 1F、 2F ,椭圆C的弦 ST与UV分别平行于 x轴与 y轴,且相交于点 P.已 知线段 , , ,PU PS PV PT 的长分别为1, 2, 3, 6,则 1 2PF F 的面积为 . 答案: 15. 解:由对称性,不妨设 ( , )P PP x y 在第一象限,则由条件知    1 12, 1 2 2P P x PT PS y PV PU      , 1 即 (2,1)P .进而由 1, 2Px PU PS   得 (2, 2), (4,1)U S ,代入椭圆C的方程知 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 16 1 a b a b        ,解得 2 220, 5a b  . 从而 1 2 2 2 1 2 1 15 2PF F P P S F F y a b y        . 5. 设 ( )f x 是定义在R上的以 2为周期的偶函数,在区间[0, 1]上严格递减, 且满足 ( ) 1, (2 ) 2f f   ,则不等式组 1 2, 1 ( ) 2 x f x      的解集为 . 答案:[ 2, 8 2 ]   . 解:由 ( )f x 为偶函数及在[0, 1]上严格递减知, ( )f x 在[ 1, 0] 上严格递增, 再结合 ( )f x 以 2为周期可知,[1, 2]是 ( )f x 的严格递增区间. 注意到 ( 2) ( ) 1, (8 2 ) ( 2 ) (2 ) 2f f f f f            , 所以 1 ( ) 2 ( 2) ( ) (8 2 )f x f f x f        , 而1 2 8 2 2      ,故原不等式组成立当且仅当 [ 2, 8 2 ]x     . 6. 设复数 z满足 1z  ,使得关于 x的方程 2 2 2 0zx zx   有实根,则这样 的复数 z的和为 . 答案: 3 2  . 解:设 2 2i ( , , 1)Rz a b a b a b     . 将原方程改为 2( i) 2( i) 2 0a b x a b x     ,分离实部与虚部后等价于 2 2 2 0ax ax   , ① 2 2 0bx bx  . ② 若 0b ,则 2 1a  ,但当 1a 时,①无实数解,从而 1a ,此时存在实 数 1 3x  满足①、②,故 1z 满足条件. 若 0b ,则由②知 {0, 2}x ,但显然 0x 不满足①,故只能是 2x ,代 入①解得 1 4 a ,进而 15 4 b ,相应有 1 15 i 4 z   . 综上,满足条件的所有复数 z之和为 1 15 i 1 15 i 3 1 4 4 2        . 7. 设O为 ABC 的外心,若 2AO AB AC      ,则 sin BAC 的值为 . 答案: 10 4 . 解:不失一般性,设 ABC 的外接圆半径 2R .由条件知, 2AC AO AB BO       , ① 故 1 1 2 AC BO  . 2 取 AC的中点M ,则OM AC ,结合①知OM BO ,且 B与 A位于直线 OM 的同侧.于是 1 cos cos(90 ) sin 4 MC BOC MOC MOC OC        . 在 BOC 中,由余弦定理得 2 2 2 cos 10BC OB OC OB OC BOC       , 进而在 ABC 中,由正弦定理得 10sin 2 4 BC BAC R    . 8. 设整数数列 1 2 10, , ,a a a 满足 10 1 2 8 53 , 2a a a a a   ,且 1 {1 , 2 }, 1, 2, , 9i i ia a a i      , 则这样的数列的个数为 . 答案:80. 解:设 1 {1, 2}( 1, 2, , 9)i i ib a a i     ,则有 1 10 1 1 2 92a a a b b b      , ① 2 3 4 5 2 8 5 5 6 7b b b a a a a b b b         . ② 用 t表示 2 3 4, ,b b b 中值为 2的项数.由②知, t也是 5 6 7, ,b b b 中值为 2的项数, 其中 {0,1, 2, 3}t  .因此 2 3 7, , ,b b b 的取法数为 0 2 1 2 2 2 3 2 3 3 3 3(C ) (C ) (C ) (C ) 20    . 取定 2 3 7, , ,b b b 后,任意指定 8 9,b b 的值,有 22 4 种方式. 最后由①知,应取 1 {1, 2}b  使得 1 2 9b b b   为偶数,这样的 1b 的取法是 唯一的,并且确定了整数 1a 的值,进而数列 1 2 9, , ,b b b 唯一对应一个满足条件的 数列 1 2 10, , ,a a a . 综上可知,满足条件的数列的个数为 20 4 80  . 二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 9.(本题满分 16分)已知定义在R上的函数 ( )f x 为 3log 1 , 0 9, ( ) 4 , 9. x x f x x x       设 , ,a b c是三个互不相同的实数,满足 ( ) ( ) ( )f a f b f c  ,求 abc的取值范围. 解:不妨假设a b c  .由于 ( )f x 在 (0, 3]上严格递减,在[3, 9]上严格递增, 在[9, ) 上严格递减,且 (3) 0, (9) 1f f  ,故结合图像可知 (0, 3)a , (3, 9)b , (9, )c  , 并且 ( ) ( ) ( ) (0, 1)f a f b f c   . …………………4分 由 ( ) ( )f a f b 得 3 31 log log 1a b   , 即 3 3log log 2a b  ,因此 23 9ab  .于是 9abc c . …………………8分 又 3 0 ( ) 4 1f c c    , …………………12分 故 (9, 16)c .进而 9 (81, 144)abc c  . 所以, abc的取值范围是 (81, 144). …………………16分 注:对任意的 (81, 144)r ,取 0 9 r c = ,则 0 (9,16)c ∈ ,从而 0( ) (0,1)f c ∈ .过 点 0 0( , ( ))c f c 作平行于 x轴的直线 l,则 l与 ( )f x 的图像另有两个交点 ( , ( ))a f a , ( , ( ))b f b (其中 (0, 3), (3, 9)a b  ),满足 ( ) ( ) ( )f a f b f c  ,并且 9ab ,从 而abc r= . 10.(本题满分 20 分)已知实数列 1 2 3, , ,a a a  满足:对任意正整数 n,有 (2 ) 1n n na S a  ,其中 nS 表示数列的前 n项和.证明: (1) 对任意正整数 n,有 2na n ; (2) 对任意正整数 n,有 1 1n na a   . 证明: (1) 约定 0 0S  .由条件知,对任意正整数 n,有 2 2 1 1 11 (2 ) ( )( )n n n n n n n n na S a S S S S S S         , 从而 2 20nS n S n   ,即 nS n (当 0n 时亦成立). …………………5分 显然, 1 1 2n n na S S n n n      . …………………10分 (2) 仅需考虑 1,n na a  同号的情况.不失一般性,可设 1,n na a  均为正(否则 将数列各项同时变为相反数,仍满足条件),则 1 1n n nS S S n    ,故必有 1, 1n nS n S n   , 此时 11, 1n na n n a n n      , 从而 1 ( 1)( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1n na a n n n n n n n n            . …………………20分 11.(本题满分 20分)在平面直角坐标系 xOy中,设 AB是抛物线 2 4y x 的 过点 (1, 0)F 的弦, AOB 的外接圆交抛物线于点 P(不同于点 , ,O A B).若 PF平 分 APB ,求 PF 的所有可能值. 解:设 2 2 2 1 2 3 1 2 3, , , , ,4 4 4 y y y A y B y P y                          ,由条件知 1 2 3, ,y y y 两两不等且非零. 设直线 AB的方程为 1x ty  ,与抛物线方程联立可得 2 4 4 0y ty   ,故 1 2 4y y  . ① 注意到 AOB 的外接圆过点O,可设该圆的方程为 2 2 0x y dx ey    ,与 2 4 y x 联立得, 4 21 0 16 4 y d y ey        .该四次方程有 1 2 3, , , 0y y y y 这四个不 4 同的实根,故由韦达定理得 1 2 3 0 0y y y    ,从而 3 1 2( )y y y  . ② …………………5分 因 PF平分 APB ,由角平分线定理知, 1 2 PA FA y PB FB y   ,结合①、②,有     22 2 23 1 22 2 2 23 12 1 2 1 1 21 2 2 22 2 2 2 2 2 2 23 2 1 2 2 2 1 3 2 ( ) ( ) 16(2 )4 4 ( ) 16(2 ) ( ) 4 4 y y y y y y y y yPAy y PB y y y y y y y y y                           2 2 2 2 4 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 4 2 1 2 1 1 2 ( 8) 16(4 16) 64 192 ( 8) 16(4 16) 64 192 y y y y y y y y y y              , ………………10分 即 6 2 2 2 6 2 2 21 1 2 1 2 2 1 264 192 64 192y y y y y y y y     ,故 2 2 4 2 2 4 1 2 1 1 2 2( )( 192) 0y y y y y y     . 当 2 21 2y y 时, 2 1y y ,故 3 0y  ,此时 P与O重合,与条件不符. 当 4 2 2 41 1 2 2 192 0y y y y    时,注意到①,有 2 2 2 2 1 2 1 2( ) 192 ( ) 208y y y y    . …………………15分 因 2 21 2 1 24 13 8 2y y y y    ,故满足①以及 2 2 1 2 4 13y y  的实数 1 2,y y 存 在,对应可得满足条件的点 ,A B.此时,结合①、②知 2 2 2 2 3 1 2 1 2( ) 4 4 208 41 13 1 4 4 4 4 y y y y y PF            . …………………20分 5
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