上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
上传时间 : 2018-09-12 09:02:05
2018年全国高中数学联合竞赛加试参考答案(A卷).pdf(188KB)
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2018年全国高中数学联合竞赛加试(A卷) 参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次. 一、(本题满分 40分)设n是正整数, 1 2 1 2, , , , , , , , ,n na a a b b b A B  均为正 实数,满足 , , 1, 2, ,i i ia b a A i n≤ ≤ =  ,且 1 2 1 2 n n b b b B a a a A ≤   . 证明: 1 2 1 2 ( 1)( 1) ( 1) 1 ( 1)( 1) ( 1) 1 n n b b b B a a a A + + + + ≤ + + + +   . 证明:由条件知, 1, 1, 2, ,ii i b k i n a = ≥ =  .记 B K A = ,则 1 2 1 2 n n b b b B a a a A ≤   化为 1 2 nk k k K≤ .要证明 1 1 1 1 1 n i i i i k a KA a A= + + ≤ + +∏ . ① 对 1, 2, ,i n=  ,由于 1ik ≥ 及0 ia A< ≤ 知, 1 1 1 1 1 1 1 1 i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A + − − + = − ≤ − = + + + + . 结合 1 2 nK k k k≥  知,为证明①,仅需证明当 0, 1 ( 1, 2, , )iA k i n> ≥ =  时,有 1 2 1 1 1 1 1 n i n i k A k k k A A A= + + ≤ + +∏  . ② …………………20分 对n进行归纳.当 1n = 时,结论显然成立. 当 2n = 时,由 1 20, , 1A k k> ≥ 可知 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 ( 1)( 1) 0 1 1 1 ( 1) k A k A k k A A k k A A A A + + + − − ⋅ − = − ≤ + + + + , ③ 因此 2n = 时结论成立. …………………30分 设n m= 时结论成立,则当 1n m= + 时,利用归纳假设知, 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A + + + = = + + + + +  = ⋅ ≤ ⋅ + + + + +  ∏ ∏  1 2 1 1 1 mk k k A A + +≤ +  , 最后一步是在③中用 1 2 1,m mk k k k + (注意 1 2 11, 1m mk k k k +≥ ≥ )分别代替 1 2,k k . 从而 1n m= + 时结论成立. 由数学归纳法可知,②对所有正整数n成立,故命题得证. …………………40分 1 二、(本题满分 40分)如图, ABC 为锐角三角形,AB AC ,M 为 BC边 的中点,点D和 E分别为 ABC 的外接圆BAC和BC的中点, F 为 ABC 的内 切圆在 AB边上的切点,G为 AE与 BC的交点,N在线段 EF上,满足 NB AB . 证明:若 BN EM ,则DF FG .(答题时请将图画在答卷纸上) 证明:由条件知,DE为 ABC 外接圆的直径,DE BC 于M ,AE AD . 记 I 为 ABC 的内心,则 I 在 AE上, IF AB . 由 NB AB 可知 (180 ) 90NBE ABE ABN ADE       90 ADE MEI   . ① …………………10分 又根据内心的性质,有 EBI EBC CBI EAC ABI     EAB ABI EIB   , 从而 BE EI . 结合 BN EM 及①知, NBE MEI≌  . …………………20分 于是 90 180EMI BNE BFE EFI      ,故 , , ,E F I M 四点共圆. 进而可知 90 90AFM IFM IEM AGM      ,从而 , , ,A F G M 四 点共圆. …………………30分 再由 90DAG DMG   知, , , ,A G M D四点共圆,所以 , , , ,A F G M D五 点共圆.从而 90DFG DAG   ,即DF FG . …………………40分 G D M N F E A B C I G D M N F E A B C 2 三、(本题满分 50分)设 , ,n k m是正整数,满足 2k ≥ ,且 2 1k n m n k − ≤ < . 设 A是{1, 2, , }m 的 n元子集.证明:区间 0, 1 n k    −  中的每个整数均可表示为 a a′− ,其中 ,a a A′∈ . 证明:用反证法.假设存在整数 0, 1 n x k  ∈ −  不可表示为 a a′− , ,a a A′∈ .作 带余除法m xq r= + ,其中0 r x≤ < .将1, 2, , m 按模 x的同余类划分成 x个公差 为 x的等差数列,其中 r个等差数列有 1q + 项, x r− 个等差数列有 q项.由于 A 中没有两数之差为 x,故 A不能包含以 x为公差的等差数列的相邻两项.从而 1 , 2 , 1 2( ) 2 2 , 2 | , 2 q x q q q n A r x r q x r q + ⋅+    = ≤ + − =         ⋅ +   ① 这里 α  表示不小于α的最小整数. …………………20分 由条件,我们有 ( ) 2 1 2 1 k k n m xq r k k > = + − − . ② 又 0, 1 n x k  ∈ −  ,故 ( 1)n k x> − . ③ 情形一: q是奇数.则由①知, 1 2 q n x + ≤ ⋅ . ④ 结合②,④可知, 1 ( ) 2 2 1 2 1 q k k x n xq r xq k k + ⋅ ≥ > + ≥ − − ,从而 2 1q k< − .再由q 是奇数可知, 2 3q k≤ − ,于是 1 ( 1) 2 q n x k x + ≤ ⋅ ≤ − , 与③矛盾. 情形二: q是偶数.则由①知, 2 q n x r≤ ⋅ + . ⑤ 结合②,⑤可知, ( ) 2 2 1 q k x r n xq r k ⋅ + ≥ > + − ,从而 1 ( 1) 2(2 1) 2 1 2 1 xq k k x r k k k − − < < − − − , 故 2( 1)q k< − .再由 q是偶数可知, 2 4q k≤ − ,于是 ( 2) ( 1) 2 q n x r k x r k x≤ ⋅ + ≤ − + < − , 与③矛盾. 综上可知,反证法假设不成立,结论获证. …………………50分 3 四、(本题满分 50分) 数列{ }na 定义如下: 1a 是任意正整数, 对整数 1n ≥ , 1na + 是与 1 n i i a = ∑ 互素,且不等于 1, , na a 的最小正整数.证明:每个正整数均在数 列{ }na 中出现. 证明:显然 1 1a = 或 2 1a = .下面考虑整数 1m > ,设m有 k个不同素因子,我 们对 k归纳证明m在{ }na 中出现.记 1n nS a a= + + , 1n ≥ . 1k = 时,m是素数方幂,设m pα= ,其中 0α > ,p是素数.假设m不在{ }na 中出现.由于{ }na 各项互不相同,因此存在正整数 N,当 n N≥ 时,都有 na p α> .若 对某个 n N≥ , np S ,那么 p α与 nS 互素,又 1, , na a 中无一项是 p α,故由数列 定义知 1na p α + ≤ ,但是 1na p α + > ,矛盾! 因此对每个 n N≥ ,都有 | np S .但由 1| np S + 及 | np S 知 1| np a + ,从而 1na + 与 nS 不互素,这与 1na + 的定义矛盾. …………………10分 假设 2k ≥ ,且结论对 1k − 成立.设m的标准分解为 1 21 2 kkm p p p αα α= .假设m 不在{ }na 中出现,于是存在正整数 N ′,当 n N ′≥ 时,都有 na m> .取充分大的正 整数 1 1, , kβ β − ,使得 11 1 1 1 maxkk n n N M p p aββ −− ′≤ ≤ = > . 我们证明,对 n N ′≥ ,有 1na M+ ≠ . …………………20分 对任意 n N ′≥ ,若 nS 与 1 2 kp p p 互素,则m与 nS 互素,又m在 1, , na a 中均 未出现,而 1na m+ > ,这与数列的定义矛盾.因此我们推出: 对任意 n N ′≥ , nS 与 1 2 kp p p 不互素. ( )∗ 情形 1.若存在 (1 1)i i k≤ ≤ − ,使得 |i np S ,因 1( , ) 1n na S+ = ,故 1i np a + ,从而 1na M+ ≠ (因 |ip M ). …………………30分 情形 2.若对每个 (1 1)i i k≤ ≤ − ,均有 i np S ,则由 ( )∗ 知必有 |k np S .于是 1k np a + ,进而 1k n np S a ++ ,即 1k np S + .故由 ( )∗ 知,存在 0 0(1 1)i i k≤ ≤ − ,使得 0 1 |i np S + ,再由 1 1n n nS S a+ += + 及前面的假设 (1 1)i np S i k ≤ ≤ − ,可知 0 1i np a + ,故 1na M+ ≠ . …………………40分 因此对 1n N ′≥ + ,均有 na M≠ ,而 1 max n i N M a ′≤ ≤ > ,故M 不在{ }na 中出现,这与 归纳假设矛盾.因此,若m有 k个不同素因子,则m一定在{ }na 中出现. 由数学归纳法知,所有正整数均在{ }na 中出现. …………………50分 4
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