上 传  者 : 许毓华
单      位 : 新宁一中
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2016年高考全国2卷理科数学试题.doc(688KB)
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0 0 类别 : 试卷
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ) 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. (1)已知 z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 (A)(-3,1) (B)(-1,3) (C)(1,+) (D)(-,-3) (2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x+2)<0,x∈Z},则A∪B= (A){1} (B){1,2} (C){0,1,2,3} (D){-1,0,1,2,3} (3)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= (A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8 (4)圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为 1,则 a= (A)- (B)- (C) (D)2 (5)如图,小明从街道的 E处出发,先到 F处与小红会合,再一起到位于 G处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条 数为 (A)24 (B)18 (C)12 (D)9 (6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 (A)20π (B)24π (C)28π (D)32π (7)若将函数 y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对 称轴为 (A)   ππ 2 6 kx k  Z (B)   ππ 2 6 kx k  Z (C)   ππ 2 12 Z kx k   (D)   ππ 2 12 Z kx k   (8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框 图。执行该程序框图,若输入 x=2,n=2,依次输入的 a为 2,2,5,则 输出的 s= (A)7 (B)12 (C)17 (D)34 (9)若 cos(-)=,则 sin2 sin 2 = (A) (B) (C)- (D)- (10)从区间 [0,1]随机抽取 2n 个数 x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成 n 个数对 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于 1的数对共有m个,则用随机模 拟的方法得到的圆周率 的近似值为 (A) (B) (C) (D) 1 (11)已知 F1,F2是双曲线 E: 2 2 2 2 1x ya b  的左,右焦点,点 M在 E上,MF1与 x轴垂直, sin∠MF2F1=,则 E的离心率为 (A) (B) (C) (D)2 (12)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=2-f(x),若函数 y=与 y=f(x)图像的交点为(x1,y1), (x2,y2),…,(xm,ym),则   m i ii yx 1 )( (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~24题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分. (13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cosA=,cosC=,a=1,则 b= ______. (14),是两个平面,m,n是两条线,有下列四个命题: ①如果m n ,m  , n ∥ ,那么  ; ②如果m  , n ∥ ,那么m n ; ③如果 a ∥ ,m  ,那么m ∥ ; ④如果m n∥ , ∥ ,那么m与 所成的角和 n与  所成的角相等。 其中的正确命题有____________. (15)有三张卡片,分别写有 1和 2,1和 3,2和 3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看 了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说:“我与 丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是 5”,则甲的卡片 上的数字是______. (16)若直线 y=kx+b是曲线 y=lnx+2的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,b=______. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13.____________ 14.____________ 15.____________ 16.____________ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12分)Sn为等差数列{an}的前 n项和,且 a1=1,S7=28。记 bn=[lgan],其 中[x]表示不超过 x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1。 ( )Ⅰ 求 b1,b11,b101; 2 ( )Ⅱ 求数列{bn}的前 1000项和。 (18)(本小题满分 12分)某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为 续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5≥ 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5≥ 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 ( )Ⅰ 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; ( )Ⅱ 若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; ( )Ⅲ 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 3 (19)(本小题满分 12分)如图,菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O,AB=5,AC= 6,点 E,F分别在 AD,CD上,AE=CF=,EF交 BD于点 H。将△ DEF沿 EF折到△ D EF 的位置OD=。 (I)证明:DH⊥平面ABCD; (II)求二面角 B-DA-C的正弦值。 (20)(本小题满分 12分)已知椭圆 E: 13 22  yt x 的焦点在 x轴上,A是 E的左顶点,斜 率为 k(k>0)的直线交 E于A,M两点,点N在 E上,MA⊥NA。 (I)当 t=4,|AM|=|AN|时,求△ AMN的面积; (II)当 2|AM|=|AN|时,求 k的取值范围。 4 (21)(本小题满分 12分) (I) 讨论函数 f(x)=ex的单调性,并证明当 x>0时,(x-2)ex+x+2>0; (II) 证明:当 a∈[0,1)时,函数 2)( x aaxexg x  (x>0)有最小值。设 g(x)的最小值 为 h(a),求函数 h(a)的值域。 选做题:请考生在 22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号 (22)(本小题满分 10分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xOy中,圆 C的方程为(x+6)2+y2=25。 (I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C的极坐标方程; (II)直线 l的参数方程是 cos sin x t y t     (t为参数),l与 C交于 A、B两点,|AB|=,求 l的斜率。 5 (23)(本小题满分 10分),选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式 f(x)<2的解集。 (I)求M; (II)证明:当 a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|。 2016年全国卷Ⅱ理科数学参考答案 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 1.A【解析】∵m+3>0,m-1<0,∴-3<m<1,故选A. 2.C【解析】∵B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}, 故选 C. 3.D【解析】∵a+b=(4,m-2),(a+b)⊥b,∴(a+b)b=12-2(m-2)=0 ,解得m=8,故选D. 4.A【解析】∵圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心为(1,4),∴ 11 |14| 2   a ad ,解得 a=-,选A. 5.B【解析】EF有 6种走法,FG有 3种走法,由乘法原理知,共 18种走法, 故选 B. 6.C【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为 r,周长为 c,圆锥母线长 为 l,圆柱高为 h.由图得 r=2,c=2r=4,由勾股定理得:   222 2 3 4l    ,S 表= r2+ch+cl=28,故选 C. 7.B【解析】平移后图像表达式为 y=2sin2(x+),令 2(x+)=k+,得对称轴方程:x=,故选 B. 8.C【解析】第一次运算: s=02+2=2,第二次运算: s=22+2=6,第三次运算: s=62+5=17,故选 C. 9.D【解析】∵cos(-)=,sin2=cos(-2)= 2cos2(-)-1=,故选D. 10.C【解析】由题意:(xi,yi)(i=1,2,…,n)在如图所示方格中,而平方和小 于 1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知,∴, 故选 C. 11.A【解析】离心率 12 21 MFMF FFe  ,由正弦定理得 6 2sinsin sin 2112 21  FF M MFMF FFe .故选A. 12.B【解析】由 f(-x)=2-f(x),得 f(x)关于(0,1)对称, 而 y==1+也关于(0,1)对称,∴对于 每一组对称点,均有 xi+xi=0,yi+yi=2,∴ mmyxyx m i i m i i m i ii    220)( 111 ,故 选 B. 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分. 13.【解析】∵cosA=,cosC=,sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=, 由正弦定理得:解得 b=. 14.【解析】②③④ 15.【解析】由题意得:丙不拿(2,3),若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足,若丙 (1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足,故甲(1,3) 16.【解析】y=lnx+2的切线为: 1ln1 1 1  xxxy (设切点横坐标为 x1),y=ln(x+1)的切线 为: 1)1ln(1 1 2 2 2 2   x xxxxy ,∴        1)1ln(1ln 1 11 2 2 21 21 x xxx xx 解得 x1=,x2=-, ∴b=lnx1+1=1-ln2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 【解析】⑴设  na 的公差为 d,由 7 47 28S a  ,知 4 4a  ,∴ 4 1 13 a ad   ,∴ 1 ( 1)na a n d n    . ∴    1 1lg lg1 0b a   ,    11 11lg lg11 1b a   ,    101 101 101lg lg 2b a   . ⑵记  nb 的前 n项和为 nT ,则 1000 1 2 1000T b b b          1 2 1000lg lg lga a a     . 当 0 lg 1na ≤ 时, 1 2 9n  ,,, ; 当1 lg 2na ≤ 时, 10 11 99n  ,,, ; 当 2 lg 3na ≤ 时, 100 101 999n  ,,, ; 当 lg 3na  时, 1000n  . ∴ 1000 0 9 1 90 2 900 3 1 1893T          . 18. 【解析】⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A, ( ) 1 ( ) 1 (0.30 0.15) 0.55P A P A      . ⑵设续保人保费比基本保费高出 60%为事件 B, ( ) 0.10 0.05 3( ) ( ) 0.55 11 P ABP B A P A    . ⑶解:设本年度所交保费为随机变量 X . X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 平均保费 0.85 0.30 0.15 1.25 0.20 1.5 0.20 1.75 0.10 2 0.05EX a a a a a           0.255 0.15 0.25 0.3 0.175 0.1 1.23a a a a a a a       , ∴平均保费与基本保费比值为1.23. 7 19. 【解析】⑴证明:∵ 54AE CF  ,∴ AE CF AD CD ,∴ EF AC∥ . ∵四边形 ABCD为菱形,∴ AC BD ,∴ EF BD ,∴ EF DH ,∴ EF D H . ∵ 6AC  ,∴ 3AO  ; 又 5AB  , AO OB ,∴ 4OB  ,∴ 1AEOH ODAO   ,∴ 3DH D H  , ∴ 2 2 2'OD OH D H   ,∴ 'D H OH . 又∵OH∩EF=H,∴ 'D H 面 ABCD. ⑵建立如图坐标系H xyz .  5 0 0B ,, ,  1 3 0C ,, ,  ' 0 0 3D ,, ,  1 3 0A ,, ,  4 , 3 , 0uuurAB ,  ' 1 , 3 , 3 uuuurAD ,  0 , 6 , 0uuurAC , 设面 'ABD 法向量  1 , ,uurn x y z , 由 1 1 0 0 n AB n AD      uur uuur uur uuuur 得 4 3 03 3 0 x y x y z       ,取 3 4 5 x y z     ,∴ )543(1 ,,n  . 同理可得面 'AD C的法向量 )103(2 ,,n  ,∴ 25 57 1025 |59| |||| |||cos| 21 21   nn nn    , ∴ 2 95sin 25  . 20. 【解析】⑴当 4t  时,椭圆 E的方程为 2 2 14 3 x y  ,A点坐标为  2 0 , , 则直线 AM的方程为  2y k x  . 联立   2 2 14 3 2 x y y k x      并整理得,  2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k     解得 2x   或 2 2 8 6 3 4 kx k    ,则 2 2 2 2 2 8 6 121 2 13 4 3 4 kAM k kk k         因为 AM AN ,所以 2 2 2 1 12 121 1 41 33 4 1 AN kk k kk                  因为 AM AN , 0k  , 所以 2 2 2 12 121 1 43 4 3 k kk k k       ,整理得    21 4 4 0k k k    , 24 4 0k k   无实根,所以 1k  . 8 所以 AMN△ 的面积为 2 21 1 12 1441 12 2 3 4 49AM        . ⑵直线 AM的方程为  y k x t  , 联立   2 2 13 x y t y k x t      并整理得,  2 2 2 2 23 2 3 0tk x t tk x t k t     解得 x t  或 2 2 3 3 t tk tx tk    , 所以 2 2 2 2 2 3 61 13 3 t tk t tAM k t ktk tk         所以 2 61 3 tAN k tk k     因为 2 AM AN ,所以 2 2 2 6 62 1 13 3 t tk k ttk k k        ,整理得, 2 3 6 3 2 k kt k   . 因为椭圆 E的焦点在 x轴,所以 3t  ,即 2 3 6 3 32 k k k   ,整理得    2 3 1 2 02 k k k    解得 3 2 2k  . 21. 【解析】⑴证明:   2 e2 x xf x x   ,       2 2 2 2 4 ee 2 2 2 x x x xf x x x x           ∵当 x    2 2 ,    U, 时,   0f x  ∴  f x 在    2 2 ,    ,和 上单调递增 ∴ 0x  时,  2 e 0 = 12 x x fx    , ∴  2 e 2 0xx x    ⑵      2 4e 2 e x xa x x ax ag x x       4e 2e 2 x xx x ax a x      3 22 e2 xxx ax x        0 1a , ,由(1)知,当 0x  时,   2 e2 x xf x x   的值域为  1  , ,只有一解. 使得 2 e2 tt at     ,  0 2t , 当 (0, )x t 时 ( ) 0g x  , ( )g x 单调减;当 ( , )x t  时 ( ) 0g x  , ( )g x 单调增      2 2 2e 1 ee 1 e2 2 t tt t tta t th a t t t         记   e 2 t k t t  ,在  0 , 2t 时,       2 e 1 02 t tk t t    ,∴  k t 单调递增 9 ∴     21 e2 4h a k t       , . 22.【解析】解:⑴整理圆的方程得 2 2 12 11 0x y    , 由 2 2 2 cos sin x y x y           可知圆C的极坐标方程为 2 12 cos 11 0     . ⑵ 记直线的斜率为 k,则直线的方程为 0kx y  , 由垂径定理及点到直线距离公式知: 2 2 6 1025 21 k k          , 即 2 2 36 90 1 4 k k  ,整理得 2 5 3k  ,则 15 3k   . 23.【解析】解:⑴当 12x   时,   1 1 22 2f x x x x      ,若 11 2x    ; 当 1 12 2x ≤≤ 时,   1 1 1 22 2f x x x      恒成立; 当 12x  时,   2f x x ,若   2f x  , 1 12 x < . 综上可得,  | 1 1M x x    . ⑵当  1 1a b ,, 时,有    2 21 1 0a b   ,即 2 2 2 21a b a b   , 则 2 2 2 22 1 2a b ab a ab b      ,则    2 21ab a b   ,即 1a b ab   ,证毕. 10
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